자연계열 2-2번

$\displaystyle 0<m<1$: 이 경우 $\displaystyle 0<x\le1$일 때, $\displaystyle g(x)=1-\sqrt{1-x^{2}}\le x<\frac{1}{m}x^{m}=f(x)$이므로 두 곡선은 만나지 않는다.

$\displaystyle m=1$: 이 경우 $\displaystyle f(1)=1=g(1)$이므로 두 곡선은 점 $\displaystyle (1,1)$에서 만난다.

$\displaystyle 1<m<2$: 이 경우 $\displaystyle 0<x\le1$일 때, $\displaystyle 1-\frac{1}{m}x^{m}\ge0$이므로$\displaystyle \begin{aligned}f(x)=g(x)\quad&\Leftrightarrow\quad\sqrt{1-x^{2}}=1-\frac{1}{m}x^{m}\quad\Leftrightarrow\quad1-x^{2}=\left(1-\frac{1}{m}x^{m}\right)^{2}\\&\Leftrightarrow\quad-x^{2}=-\frac{2}{m}x^{m}+\frac{1}{m^{2}}x^{2m}\quad\Leftrightarrow\quad x^{2m-1}-2mx^{m-1}+m^{2}x=0\end{aligned}$이다. 함수 $\displaystyle h(x)=x^{2m-1}-2mx^{m-1}+m^{2}x$는 $\displaystyle h(0)=0,\ \lim_{x\to0^{+}}h^{\prime}(x)=-\infty$를 만족하므로 $\displaystyle h(a)<0$인 $\displaystyle a\in(0,1)$가 존재한다. 함수 $\displaystyle h(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [a,1]$에서 연속이고 $\displaystyle h(a)<0<(m-1)^{2}=h(1)$이므로사잇값 정리에 의해 $\displaystyle h(c)=0$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (a,1)$에 적어도 하나 존재한다.따라서 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$는 $\displaystyle 0<x\le1$의 범위에서 만난다.

$\displaystyle m\ge2$: 이 경우 $\displaystyle 0<x\le1$일 때, $\displaystyle 1-\frac{1}{m}x^{m}\ge0$이므로$\displaystyle \begin{aligned}f(x)=g(x)\quad&\Leftrightarrow\quad\sqrt{1-x^{2}}=1-\frac{1}{m}x^{m}\quad\Leftrightarrow\quad1-x^{2}=\left(1-\frac{1}{m}x^{m}\right)^{2}\\&\Leftrightarrow\quad-x^{2}=-\frac{2}{m}x^{m}+\frac{1}{m^{2}}x^{2m}\quad\Leftrightarrow\quad\frac{2}{m}x^{m-2}=1+\frac{1}{m^{2}}x^{2m-2}\end{aligned}$이다. 마지막 식의 좌변은 $\displaystyle 1$보다 작거나 같고 우변은 $\displaystyle 1$보다 크기 때문에 등식이 성립할 수 없으므로, $\displaystyle 0<x<1$에서 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$는 만나지 않는다.