자연계열 1-1번

내접원의 반지름을 $\displaystyle r$이라 하자.오른쪽 그림에서 $\displaystyle \left(x-r+\frac{1}{x}-r\right)^{2}=\overline{\mathrm{AC}}^{2}=\overline{\mathrm{AB}}^{2}+\overline{\mathrm{BC}}^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$이고,$\displaystyle r<x$이므로 $\displaystyle r$에 대해 정리하면 $\displaystyle r=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}-\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\right)$이다.따라서 $\displaystyle f(x)=\pi r^{2}=\frac{\pi}{4}\left(x+\frac{1}{x}-\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\right)^{2}$이다.

외접원의 반지름을 $\displaystyle R$이라 하면, 오른쪽 그림과 같이 외접원의 중심은 빗변 AC의 중점이므로,$\displaystyle R=\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)=\pi R^{2}=\frac{\pi}{4}\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to\infty}f(x)g(x)&=\frac{\pi^{2}}{16}\left(x+\frac{1}{x}-\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\right)^{2}\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)\\&=\frac{\pi^{2}}{16}\left(x^{2}+1-\sqrt{x^{4}+1}\right)^{2}\left(1+\frac{1}{x^{4}}\right)\end{aligned}$Correction. 첫 두 등식 우변에 극한 기호가 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x^{4}}\right)=1$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(x^{2}+1-\sqrt{x^{4}+1})=\lim_{x\to\infty}\frac{(x^{2}+1)^{2}-(x^{4}+1)}{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{1+\frac{1}{x^{2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^{4}}}}=1$이므로,$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)g(x)=\frac{\pi^{2}}{16}\times1^{2}\times1=\frac{\pi^{2}}{16}$이다.