자연계열 2-3번

두 교점 중 $\displaystyle y$좌표가 양수인 점을 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}(x_{1},y_{1})$이라 하면, $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$의 좌표는 $\displaystyle (x_{1},-y_{1})$이다.점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$에서의 포물선의 접선의 방정식은 $\displaystyle y_{1}y=2p(x+x_{1})$, 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$에서의 포물선의 접선의 방정식은 $\displaystyle -y_{1}y=2p(x+x_{1})$이다. 따라서 점 A의 좌표는 $\displaystyle (-x_{1},0)$이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}_{1}}=(2x_{1},y_{1}),\ \overrightarrow{\mathrm{AP}_{2}}=(2x_{1},-y_{1})$이다.$\displaystyle \angle\mathrm{P}_{1}\mathrm{AP}_{2}$를 $\displaystyle \theta$라 하면,$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}_{1}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}_{2}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AP}_{1}}|\cdot|\overrightarrow{\mathrm{AP}_{2}}|}=\frac{4x_{1}^{2}-y_{1}^{2}}{4x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}=\frac{4x_{1}^{2}-4px_{1}}{4x_{1}^{2}+4px_{1}}=\frac{x_{1}-p}{x_{1}+p}$이때 $\displaystyle \theta=60^{\circ}$이므로 $\displaystyle x_{1}=3p$이다.

한편, $\displaystyle x_{1}$과 $\displaystyle y_{1}$은 $\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$과 $\displaystyle y_{1}^{2}=4px_{1}$을 만족하므로, 이차방정식 $\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{4px_{1}}{b^{2}}=1$, $\displaystyle x_{1}>0$이 성립한다.이차방정식을 $\displaystyle x_{1}$에 대하여 풀면 $\displaystyle x_{1}=-\frac{2a^{2}p}{b^{2}}+\sqrt{\frac{4a^{4}p^{2}}{b^{4}}+a^{2}}$$\displaystyle b^{4}=(a^{2}-p^{2})^{2}$이므로, $\displaystyle x_{1}=-\frac{2a^{2}p}{b^{2}}+\frac{a(a^{2}+p^{2})}{b^{2}}=\frac{a(a-p)^{2}}{b^{2}}=\frac{a(a-p)}{(a+p)}$

그러므로 $\displaystyle 3p=\frac{a(a-p)}{(a+p)}$이고, $\displaystyle \frac{a}{p}=t$라 하면, $\displaystyle t^{2}-4t-3=0$이다. $\displaystyle t>0$이므로 $\displaystyle t=2+\sqrt{7}$이다.