자연계열 2-2번

문제에서 주어진 부등식에 자연로그를 취하면, $\displaystyle n^{k}\le k^{n}\Leftrightarrow k\ln n\le n\ln k\Leftrightarrow\frac{\ln n}{n}\le\frac{\ln k}{k}$이다.양의 실수에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$에 대하여 $\displaystyle a_{n}$은 $\displaystyle f(k)\ge f(n)$을 만족하는 자연수 $\displaystyle k$의 개수이다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$이고 $\displaystyle x>e$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로, 구간 $\displaystyle (e,\infty)$에서 $\displaystyle f(x)$는 감소한다.$\displaystyle n\ge3$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 자연수 $\displaystyle k$가 $\displaystyle k\le n$이면 $\displaystyle f(k)\ge f(n)$이고, $\displaystyle k>n$이면 $\displaystyle f(k)<f(n)$이다.따라서 $\displaystyle a_{n}=n-2$이므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n}=1$이다.