자연계열 1-3번

선분 AB의 중점을 $\displaystyle \mathrm{M}(2,-1)$이라 하면$\displaystyle 2|\overrightarrow{\mathrm{PM}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=4|\overrightarrow{\mathrm{PG}}|$, 즉, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PM}}|=2|\overrightarrow{\mathrm{PG}}|$점 P의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 하면, 무게중심 G의 좌표가 $\displaystyle \left(\frac{6-2+5}{3},\frac{2-4-1}{3}\right)=(3,-1)$이므로$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PM}}|^{2}=(x-2)^{2}+(y+1)^{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{PG}}|^{2}=(x-3)^{2}+(y+1)^{2}$따라서 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PM}}|^{2}=4|\overrightarrow{\mathrm{PG}}|^{2}$으로부터$\displaystyle (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=4(x-3)^{2}+4(y+1)^{2}$을 얻고, 이를 정리하면$\displaystyle 3x^{2}-20x+3y^{2}+6y+35=0$ 또는 $\displaystyle \left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}+(y+1)^{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$그러므로 점 P가 나타내는 도형 $\displaystyle T$는 점 $\displaystyle \mathrm{D}\left(\frac{10}{3},-1\right)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{2}{3}$인 원이다.

한편 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{(6-5)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{10}$이고, 직선 AC의 방정식은 $\displaystyle y=3x-16$이다.삼각형 APC의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{AC}}\times(\text{점 P와 직선 AC사이의 거리})$이고,$\displaystyle \begin{aligned}(\text{점 P와 직선 AC사이의 거리의 최댓값})&=(\text{점 D와 직선 AC사이의 거리})+(\text{원 }T\text{의 반지름})\\&=\frac{5}{\sqrt{10}}+\frac{2}{3}\end{aligned}$따라서 삼각형 APC의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}\left(\frac{5}{\sqrt{10}}+\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{10}}{3}$이다.