자연계열 1-2번

기울기가 $\displaystyle \sqrt{m}$이고 타원 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$에 접하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\sqrt{m}x\pm\sqrt{a^{2}m+b^{2}}$이므로$\displaystyle l_{1}:y=\sqrt{m}x+\sqrt{a^{2}m+b^{2}},\ l_{2}:y=\sqrt{m}x-\sqrt{a^{2}m+b^{2}}$라 두자.$\displaystyle l_{1}$과 수직으로 만나는 직선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{m}}$이므로Caution. 직선의 기울기를 이용할 때는 $\displaystyle y$축에 평행한 경우를 따로 다루어야 한다: $\displaystyle m=0$이면 기울기가 $\displaystyle \sqrt m$인 접선은 수평선이므로, 이에 수직인 접선은 $\displaystyle x=\pm|a|$이다. 이때 기울기 $\displaystyle -\frac1{\sqrt m}$을 쓸 수 없으며 직사각형의 넓이는 $\displaystyle 4|ab|$이다. 이 경우를 따로 확인하면 최종 넓이 식과 최댓값은 그대로이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle l_{3}:y=-\frac{1}{\sqrt{m}}x+\sqrt{\frac{a^{2}}{m}+b^{2}},\ l_{4}:y=-\frac{1}{\sqrt{m}}x-\sqrt{\frac{a^{2}}{m}+b^{2}}$으로 둘 수 있다.직선 $\displaystyle l_{1}$ 위의 한 점 $\displaystyle (0,\sqrt{a^{2}m+b^{2}})$에서 직선 $\displaystyle l_{2}$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{2\sqrt{a^{2}m+b^{2}}}{\sqrt{m+1}}$이고,직선 $\displaystyle l_{3}$ 위의 한 점 $\displaystyle \left(0,\sqrt{\frac{a^{2}}{m}+b^{2}}\right)$에서 직선 $\displaystyle l_{4}$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{2\sqrt{\frac{a^{2}}{m}+b^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{m}+1}}=\frac{2\sqrt{a^{2}+b^{2}m}}{\sqrt{m+1}}$이므로$\displaystyle S(m)=\frac{4\sqrt{(a^{2}m+b^{2})(a^{2}+b^{2}m)}}{m+1}$을 얻는다.

$\displaystyle \{S(m)\}^{2}$을 $\displaystyle f(m)$이라 두면 $\displaystyle f(m)=\frac{16(a^{2}m+b^{2})(a^{2}+b^{2}m)}{(m+1)^{2}}$이고, 이를 미분하면$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(m)&=16\frac{(a^{2}(a^{2}+b^{2}m)+b^{2}(a^{2}m+b^{2}))(m+1)-2(a^{2}m+b^{2})(a^{2}+b^{2}m)}{(m+1)^{3}}\\&=16\frac{(2a^{2}b^{2}m+a^{4}+b^{4})(m+1)-2(a^{2}b^{2}m^{2}+(a^{4}+b^{4})m+a^{2}b^{2})}{(m+1)^{3}}\\&=16\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}m+a^{4}+b^{4}-2(a^{4}+b^{4})m-2a^{2}b^{2}}{(m+1)^{3}}\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}&=16(a^{2}-b^{2})^{2}\frac{1-m}{(m+1)^{3}}\end{aligned}$를 얻는다. 증감표를 그려보면 아래와 같다.

따라서, $\displaystyle \{S(m)\}^{2}$의 최댓값은 $\displaystyle 4(a^{2}+b^{2})^{2}$이다.Caution. 상수함수인 경우를 빠뜨리지 않도록 주의해야 한다: $\displaystyle a^2=b^2$인 원까지 포함하면 $\displaystyle S(m)$은 상수함수이다. 이때는 $\displaystyle m=1$뿐 아니라 $\displaystyle 0\le m\le2026$인 모든 $\displaystyle m$에서 $\displaystyle \{S(m)\}^2$이 최댓값 $\displaystyle 4(a^2+b^2)^2$을 갖는다.