자연계열 (오전) 1번

(1) 좌표 $\displaystyle 1$에서 시작하여 $\displaystyle 3$회의 시행 후 ‘보류’가 되는 경우는 $\displaystyle 3$번의 동전을 던지는 ’시행’에서 ‘앞뒤앞’이 나와야 한다. 이러한 확률은 $\displaystyle \left( \frac{{1}}{{2}} \right)^{{3}}$이다. 마찬가지로 좌표 $\displaystyle 2$에서 시작하여 $\displaystyle 4$회의 시행 후 ’보류‘가 되는 경우는 $\displaystyle 4$번의 동전을 던지는 ’시행‘에서 ’뒤앞뒤앞‘이 나와야 한다. 이러한 확률은 $\displaystyle \left( \frac{{1}}{{2}} \right)^{{4}}$이다.

좌표 $\displaystyle 1$에서 시작하여 $\displaystyle n$회의 시행 후 ‘보류’가 되는 경우는 $\displaystyle n$회의 ‘시행’에서 ‘앞뒤앞...’이 연속으로 번갈아 나오는 경우뿐이다. 따라서 $\displaystyle D ( n , 1 ) = \left( \frac{{1}}{{2}} \right)^{{n}}$이다. 마찬가지로 $\displaystyle D ( n , 2 ) = \left( \frac{{1}}{{2}} \right)^{{n}}$이다.

(2) 점 $\displaystyle {{A}}$가 좌표 $\displaystyle 1$에서 출발하면 첫 ‘시행’ 후 $\displaystyle \frac{{1}}{{2}}$의 확률로 좌표 $\displaystyle 0$으로 이동하여 ‘실패’하거나, $\displaystyle \frac{{1}}{{2}}$의 확률로 좌표 $\displaystyle 2$로 이동하여 ‘시행’을 반복하게 된다. 이때 좌표 $\displaystyle 2$로 이동한 후 ‘성공’할 확률은 시작 좌표가 $\displaystyle 2$이고 ‘시행횟수’가 $\displaystyle n - 1$인 경우와 같으므로 $\displaystyle S ( n - 1 , 2 )$이다. 따라서 $\displaystyle S ( n , 1 ) = \frac{{1}}{{2}} S ( n - 1 , 2 )$이다.

(3) 점 $\displaystyle {{A}}$가 좌표 $\displaystyle 2$에서 출발하면 첫 ‘시행’ 후 $\displaystyle \frac{{1}}{{2}}$의 확률로 좌표 $\displaystyle 3$으로 이동하여 ‘성공’하거나, $\displaystyle \frac{{1}}{{2}}$의 확률로 좌표 $\displaystyle 1$로 이동하여 $\displaystyle {{n}} - 1$회 ‘시행’을 반복하게 된다. 이때 좌표 $\displaystyle 1$로 이동한 후 ‘성공’할 확률은 시작좌표가 $\displaystyle 1$이고 ‘시행횟수’가 $\displaystyle n - 1$인 경우와 같으므로 $\displaystyle S ( n - 1 , 1 )$이다. 따라서 $\displaystyle S ( n , 2 ) = \frac{{1}}{{2}} S ( n - 1 , 1 ) + \frac{{1}}{{2}}$이다.

(4) 좌표 $\displaystyle 1$에서 시작하여 ‘성공’하는 사건과 좌표 $\displaystyle 2$에서 시작하여 ‘실패’하는 사건은 대칭이다. 따라서 $\displaystyle S ( n , 2 ) = F ( n , 1 )$이다. 확률의 총합은 $\displaystyle 1$이어야 하므로 $\displaystyle S ( n , 1 ) + D ( n , 1 ) + F ( n , 1 ) = 1$이다. 이를 이용하여 $\displaystyle a_{{n}} + b_{{n}} = S ( n , 1 ) + S ( n , 2 ) = 1 - \left( \frac{{1}}{{2}} \right)^{{n}}$을 얻을 수 있다. 따라서 $\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} \left( a_{{n}} + b_{{n}} \right) = \lim _{{n \to \infty }} \left\{ 1 - \left( \frac{{1}}{{2}} \right)^{{n}} \right\} = 1$이다.

(5) 두 수열의 극한값을 $\displaystyle a = \lim _{{n \to \infty }} a_{{n}}$과 $\displaystyle b = \lim _{{n \to \infty }} b_{{n}}$로 정의하자. 문항 (4)의 결과에 의해 $\displaystyle a + b = 1$이다. 문항 (2)에서 얻은 관계는 $\displaystyle a_{{n}} = \frac{{1}}{{2}} b_{{n - 1}}$와 같이 표현할 수 있다. 이 식의 양변에 극한을 취하면 $\displaystyle a = \lim _{{n \to \infty }} a_{{n}} = \lim _{{n \to \infty }} \frac{{1}}{{2}} b_{{n - 1}} = \frac{{1}}{{2}} b$이다. 따라서 $\displaystyle a = \frac{{1}}{{3}}$, $\displaystyle b = \frac{{2}}{{3}}$이다.