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자연계열 (오전) 1번

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홍익대 서울캠퍼스 2021학년도 수시 자연계열 (오전) 1번 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2021su/jayeon_am_1

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문제

수직선 위에 점 A가 있고, 앞면이 나올 확률이 12\displaystyle \frac{1}{2}인 동전이 있다. 이 동전을 한 번 던져서 앞면이 나오면 점 A를 +1\displaystyle + 1 만큼, 뒷면이 나오면 점 A를 −1\displaystyle - 1 만큼 이동시키는 ‘시행’을 한다. 점 A의 시작 좌표는 1 또는 2 이다. 자연수 n\displaystyle n을 ‘시행횟수’라 하고 위 ‘시행’을 n\displaystyle n회 반복한다. 아래와 같이 ‘성공’, ‘실패’, ‘보류’ 사건을 정의한다.

● 점 A가 좌표 0에 도달하기 전에 좌표 3에 먼저 도달하는 사건을 ‘성공’으로 정의한다.

● 점 A가 좌표 3에 도달하기 전에 좌표 0에 먼저 도달하는 사건을 ‘실패’라고 정의한다.

● 점 A가 n\displaystyle n회의 ‘시행’ 동안 좌표 0 또는 3에 도달하지 못한 사건을 ‘보류’라고 정의한다.

‘시행횟수’가 n\displaystyle n일 때, x=1\displaystyle x = 1 또는 x=2\displaystyle x = 2에 대하여 점 A가 좌표 x\displaystyle x에서 시작하여 ‘성공’할 확률을 S(n,x)\displaystyle S ( n , x ), ‘보류’될 확률을 D(n,x)\displaystyle D ( n , x ), ‘실패’할 확률을 F(n,x)\displaystyle F ( n , x )라 하자.

(1) D(3,1)\displaystyle D ( 3 , 1 )과 D(4,2)\displaystyle D ( 4 , 2 )를 구하고, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 D(n,1)\displaystyle D ( n , 1 )과 D(n,2)\displaystyle D ( n , 2 )를 각각 n\displaystyle n에 대한 식으로 표현하시오.

(2) n≥2\displaystyle n \ge 2인 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 점 A는 좌표 1에서 시작하면 첫 ‘시행’ 후 12\displaystyle \frac{1}{2}의 확률로 좌표 0으로 이동하여 ‘실패’하거나, 12\displaystyle \frac{1}{2}의 확률로 좌표 2로 이동한 후에 ‘시행’을 반복하게 된다. 이를 이용하여 S(n,1)\displaystyle S ( n , 1 )을 S(n−1,2)\displaystyle S ( n - 1 , 2 )에 대한 식으로 표현하시오.

(3) n≥2\displaystyle n \ge 2인 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 문항 (2)와 유사한 방식으로 S(n,2)\displaystyle S ( n , 2 )를 S(n−1,1)\displaystyle S ( n - 1 , 1 )에 대한 식으로 표현하시오.

(4) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 S(n,2)=F(n,1)\displaystyle S ( n , 2 ) = F ( n , 1 )가 성립함을 간단히 설명하고, 이 사실을 이용하여 an=S(n,1)\displaystyle a_{{n}} = S ( n , 1 )과 bn=S(n,2)\displaystyle b_{{n}} = S ( n , 2 )에 대해 수열 {an+bn\displaystyle a_{{n}} + b_{{n}}}의 극한값 lim⁡n→∞(an+bn)\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} ( a_{{n}} + b_{{n}} )을 구하시오.

(5) 문항 (4)에서 정의한 두 수열 {an\displaystyle a_{{n}}}과 {bn\displaystyle b_{{n}}}의 극한이 모두 존재할 때, {an\displaystyle a_{{n}}}의 극한값 lim⁡n→∞an\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} a_{{n}}과 {bn\displaystyle b_{{n}}}의 극한값 lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} b_{{n}}을 각각 구하시오.

해설강의 준비중

홍익대 서울캠퍼스 2021학년도 수시 자연계열 (오전) 1번 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2021su/jayeon_am_1

+4점 · D(3,1)\displaystyle D(3,1)과 D(4,2)\displaystyle D(4,2)를 구함 (2점) D(n,1)\displaystyle D(n,1)과 D(n,2)\displaystyle D(n,2)를 구함 (2점)

(1) 좌표 1\displaystyle 1에서 시작하여 3\displaystyle 3회의 시행 후 ‘보류’가 되는 경우는 3\displaystyle 3번의 동전을 던지는 ’시행’에서 ‘앞뒤앞’이 나와야 한다. 이러한 확률은 (12)3\displaystyle \left( \frac{{1}}{{2}} \right)^{{3}}이다. 마찬가지로 좌표 2\displaystyle 2에서 시작하여 4\displaystyle 4회의 시행 후 ’보류‘가 되는 경우는 4\displaystyle 4번의 동전을 던지는 ’시행‘에서 ’뒤앞뒤앞‘이 나와야 한다. 이러한 확률은 (12)4\displaystyle \left( \frac{{1}}{{2}} \right)^{{4}}이다.

좌표 1\displaystyle 1에서 시작하여 n\displaystyle n회의 시행 후 ‘보류’가 되는 경우는 n\displaystyle n회의 ‘시행’에서 ‘앞뒤앞...’이 연속으로 번갈아 나오는 경우뿐이다. 따라서 D(n,1)=(12)n\displaystyle D ( n , 1 ) = \left( \frac{{1}}{{2}} \right)^{{n}}이다. 마찬가지로 D(n,2)=(12)n\displaystyle D ( n , 2 ) = \left( \frac{{1}}{{2}} \right)^{{n}}이다.

+4점 · S(n,1)=12S(n−1,2)\displaystyle S(n,1)=\frac12S(n-1,2)를 올바르게 유도함 (4점)

(2) 점 A\displaystyle {{A}}가 좌표 1\displaystyle 1에서 출발하면 첫 ‘시행’ 후 12\displaystyle \frac{{1}}{{2}}의 확률로 좌표 0\displaystyle 0으로 이동하여 ‘실패’하거나, 12\displaystyle \frac{{1}}{{2}}의 확률로 좌표 2\displaystyle 2로 이동하여 ‘시행’을 반복하게 된다. 이때 좌표 2\displaystyle 2로 이동한 후 ‘성공’할 확률은 시작 좌표가 2\displaystyle 2이고 ‘시행횟수’가 n−1\displaystyle n - 1인 경우와 같으므로 S(n−1,2)\displaystyle S ( n - 1 , 2 )이다. 따라서 S(n,1)=12S(n−1,2)\displaystyle S ( n , 1 ) = \frac{{1}}{{2}} S ( n - 1 , 2 )이다.

+4점 · S(n,2)=12S(n−1,1)+12\displaystyle S(n,2)=\frac12S(n-1,1)+\frac12을 올바르게 유도함 (4점)

(3) 점 A\displaystyle {{A}}가 좌표 2\displaystyle 2에서 출발하면 첫 ‘시행’ 후 12\displaystyle \frac{{1}}{{2}}의 확률로 좌표 3\displaystyle 3으로 이동하여 ‘성공’하거나, 12\displaystyle \frac{{1}}{{2}}의 확률로 좌표 1\displaystyle 1로 이동하여 n−1\displaystyle {{n}} - 1회 ‘시행’을 반복하게 된다. 이때 좌표 1\displaystyle 1로 이동한 후 ‘성공’할 확률은 시작좌표가 1\displaystyle 1이고 ‘시행횟수’가 n−1\displaystyle n - 1인 경우와 같으므로 S(n−1,1)\displaystyle S ( n - 1 , 1 )이다. 따라서 S(n,2)=12S(n−1,1)+12\displaystyle S ( n , 2 ) = \frac{{1}}{{2}} S ( n - 1 , 1 ) + \frac{{1}}{{2}}이다.

+4점 · S(n,2)=F(n,1)\displaystyle S(n,2)=F(n,1)가 성립함을 설명함 (2점) an+bn=S(n,1)+S(n,2)=1−(12)n\displaystyle a_n+b_n=S(n,1)+S(n,2)=1-\left(\frac12\right)^n을 이용하여 극한값을 계산함 (2점)

(4) 좌표 1\displaystyle 1에서 시작하여 ‘성공’하는 사건과 좌표 2\displaystyle 2에서 시작하여 ‘실패’하는 사건은 대칭이다. 따라서 S(n,2)=F(n,1)\displaystyle S ( n , 2 ) = F ( n , 1 )이다. 확률의 총합은 1\displaystyle 1이어야 하므로 S(n,1)+D(n,1)+F(n,1)=1\displaystyle S ( n , 1 ) + D ( n , 1 ) + F ( n , 1 ) = 1이다. 이를 이용하여 an+bn=S(n,1)+S(n,2)=1−(12)n\displaystyle a_{{n}} + b_{{n}} = S ( n , 1 ) + S ( n , 2 ) = 1 - \left( \frac{{1}}{{2}} \right)^{{n}}을 얻을 수 있다. 따라서 lim⁡n→∞(an+bn)=lim⁡n→∞{1−(12)n}=1\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} \left( a_{{n}} + b_{{n}} \right) = \lim _{{n \to \infty }} \left\{ 1 - \left( \frac{{1}}{{2}} \right)^{{n}} \right\} = 1이다.

+4점 · 두 수열의 극한값을 a=lim⁡n→∞an\displaystyle a=\lim_{n\to\infty}a_n과 b=lim⁡n→∞bn\displaystyle b=\lim_{n\to\infty}b_n a+b=1\displaystyle a+b=1을 설명한 경우 (1점) a+b=1\displaystyle a+b=1과 b=12a, a=12b+12\displaystyle b=\frac12a,\ a=\frac12b+\frac12 중 두 개의 식을 연립하여 a\displaystyle a와 b\displaystyle b를 구한 경우 (3점)

Correction. 채점기준의 두 식은 a\displaystyle a와 b\displaystyle b가 뒤바뀌었다. 올바른 식은 a=12b\displaystyle a=\frac12b, b=12a+12\displaystyle b=\frac12a+\frac12이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(5) 두 수열의 극한값을 a=lim⁡n→∞an\displaystyle a = \lim _{{n \to \infty }} a_{{n}}과 b=lim⁡n→∞bn\displaystyle b = \lim _{{n \to \infty }} b_{{n}}로 정의하자. 문항 (4)의 결과에 의해 a+b=1\displaystyle a + b = 1이다. 문항 (2)에서 얻은 관계는 an=12bn−1\displaystyle a_{{n}} = \frac{{1}}{{2}} b_{{n - 1}}와 같이 표현할 수 있다. 이 식의 양변에 극한을 취하면 a=lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞12bn−1=12b\displaystyle a = \lim _{{n \to \infty }} a_{{n}} = \lim _{{n \to \infty }} \frac{{1}}{{2}} b_{{n - 1}} = \frac{{1}}{{2}} b이다. 따라서 a=13\displaystyle a = \frac{{1}}{{3}}, b=23\displaystyle b = \frac{{2}}{{3}}이다.

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