자연계열 (오후) 1번

(1)

총 경우의 수: $\displaystyle {}_{N}\mathrm C_{25}$ (총 $\displaystyle N$마리중 25마리를 순서 상관없이 뽑는 경우의 수)

문제의 사건이 일어날 경우의 수: $\displaystyle {}_{20}\mathrm C_3\times{}_{N-20}\mathrm C_{22}$ (표식이 붙여진 20마리 중 3마리를 뽑을 경우의 수 $\displaystyle \times$ 표식이 붙여지지 않은 $\displaystyle (N-20)$마리 중 $\displaystyle (25-3)$마리를 뽑을 경우의 수)

따라서 이 사건의 확률은

$\displaystyle \begin{aligned}f(N)&=\frac{{}_{20}\mathrm C_3\times{}_{N-20}\mathrm C_{22}}{{}_{N}\mathrm C_{25}}=\frac{\frac{20!}{3!(20-3)!}\frac{(N-20)!}{(22)!(N-20-22)!}}{\frac{N!}{25!(N-25)!}}\\&=\frac{20!25!(N-20)!(N-25)!}{3!17!22!(N-42)!N!}\end{aligned}$

답안으로 가능한 다른 표현들

$\displaystyle f(N)=\frac{{}_{20}\mathrm C_3\times{}_{N-20}\mathrm C_{22}}{{}_{N}\mathrm C_{25}},\quad f(N)=\frac{20\times19\times18\times25\times24\times23\times(N-20)!(N-25)!}{3!(N-42)!N!}$

(2)

$\displaystyle \begin{aligned}g(N)&=\frac{\frac{{}_{20}\mathrm C_3\times{}_{N+1-20}\mathrm C_{22}}{{}_{N+1}\mathrm C_{25}}}{\frac{{}_{20}\mathrm C_3\times{}_{N-20}\mathrm C_{22}}{{}_{N}\mathrm C_{25}}}\\&=\frac{\frac{20!25!(N+1-20)!(N+1-25)!}{3!17!22!(N+1-42)!(N+1)!}}{\frac{20!25!(N-20)!(N-25)!}{3!17!22!(N-42)!N!}}\\&=\frac{(N-19)(N-24)}{(N-41)(N+1)}=\frac{N^2-43N+456}{N^2-40N-41}\end{aligned}$

(3) $\displaystyle 42 \leq N$일 때, $\displaystyle f ( N ) > 0$이므로 $\displaystyle f ( N + 1 ) > f ( N )$일 필요충분조건은 $\displaystyle 1 < \frac{{f ( N + 1 )}}{{f ( N )}} = \frac{{N^{{2}} - 43 N + 456}}{{N^{{2}} - 40 N - 41}}$즉, $\displaystyle N^{{2}} - 43 N + 456 > N^{{2}} - 40 N - 41$이다.

따라서 $\displaystyle 3 N < 497$, $\displaystyle N < \frac{{497}}{{3}} = 165.666 \cdots$이다.

$\displaystyle N$은 자연수이므로 $\displaystyle 42 \leq N \leq 165$

마찬가지로 $\displaystyle f ( N + 1 ) < f ( N )$일 필요충분조건은 $\displaystyle N > 165.666 \cdots$이다.

$\displaystyle N$은 자연수이므로 $\displaystyle N \geq 166$

(4) $\displaystyle ( 3 )$으로부터 $\displaystyle 42$이상의 자연수의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle f ( N )$에 대해, $\displaystyle 42 \leq N \leq 165$일 때 $\displaystyle f ( N ) < f ( N + 1 )$이고, $\displaystyle N \geq 166$일 때 $\displaystyle f ( N ) > f ( N + 1 )$이다.

즉, $\displaystyle f ( 42 ) < f ( 43 ) < \cdots < f ( 165 ) < f ( 166 ) > f ( 167 ) > \cdots$이므로 $\displaystyle N = 166$일 때 $\displaystyle f ( N )$은 최대가 된다.