자연계열 (오전) 3번

(1) 정삼각형이 차지하는 (i) 영역과, 꼭짓점의 궤적에 포함되는 (ii) 영역의 합으로 나누어 생각할 수 있다.

(i) 영역: 정삼각형 $\displaystyle 3$개, 한 변의 길이 $\displaystyle \sqrt{{3}}$: 총 넓이 $\displaystyle 3 \times \left( \frac{{3 \sqrt{{3}}}}{{4}} \right)$

(ii) 영역: 부채꼴 $\displaystyle 3$개, 반지름 $\displaystyle \sqrt{{3}}$, 중심각 $\displaystyle \pi$: 총 넓이 $\displaystyle 3 \times ( 3 \pi / 2 )$

총 넓이 $\displaystyle \frac{{9 \sqrt{{3}}}}{{4}} + \frac{{9 \pi }}{{2}}$

(2) 정 $\displaystyle n$각형의 중심을 $\displaystyle {{O}}$라고 한다 (예시 그림: $\displaystyle n = 5$인 경우)

이등변삼각형 $\displaystyle {{O B D}}$에서 $\displaystyle \angle B O D = 2 \pi / n$이므로,

$\displaystyle \angle C O D = 1 / 2 \times \angle B O D = \pi / n$

$\displaystyle \angle A O D = \pi - \angle C O D = \frac{{n - 1}}{{n}} \pi$이므로,

이등변삼각형 $\displaystyle {{A O D}}$에서 $\displaystyle \angle O A D = \angle O D A = \left( \pi - \frac{{n - 1}}{{n}} \pi \right) / 2 = \frac{{\pi }}{{2 n}}$

$\displaystyle \cos ( \angle O D A ) = \cos \left( \frac{{\pi }}{{2 n}} \right) = \frac{{\overline{{D E}}}}{{1}} = r_{{n}} / 2$

$\displaystyle r_{{n}} = 2 \cos \left( \frac{{\pi }}{{2 n}} \right)$

(3) $\displaystyle n$개의 (i) 영역 및 (ii) 영역의 합으로 생각할 수 있다. 이때 (i)은 정 $\displaystyle n$각형의 한 변과 두 개의 가장 먼 두 꼭짓점 사이를 잇는 선분으로 이루어진 이등변삼각형이고, (ii)는 $\displaystyle r_{{n}}$을 반지름으로 갖는 부채꼴이다.

$\displaystyle \angle C A B$는 정 $\displaystyle n$각형의 내각이므로 $\displaystyle \angle C A B = \pi \left( \frac{{n - 2}}{{n}} \right)$

이등변삼각형 $\displaystyle {{A B E}}$에 대하여 위 문제에서 $\displaystyle \frac{{\angle A E B}}{{2}} = \frac{{\pi }}{{2 n}}$이므로 $\displaystyle \angle E A B = \frac{{\pi }}{{2}} \left( \frac{{n - 1}}{{n}} \right)$

점 $\displaystyle {{A}}$주위로 $\displaystyle 2 \pi = \angle D A E + 2 \angle E A B + \angle C A B$이므로 $\displaystyle \angle D A E = 3 \pi / n$

위 문제에서 주어진 것과 같이 $\displaystyle r_{{n}} = 2 \cos \left( \frac{{\pi }}{{2 n}} \right)$

(i) 이등변삼각형 $\displaystyle n$개, 긴 변 $\displaystyle r_{{n}} = 2 \cos \left( \frac{{\pi }}{{2 n}} \right)$, 사이각 $\displaystyle \pi / n$:

총 넓이 $\displaystyle n \times \left( 2 \cos \frac{{\pi }}{{2 n}} \right)^{{2}} \times \frac{{\sin ( \pi / n )}}{{2}}$

(ii) 부채꼴 $\displaystyle n$개, 반지름 $\displaystyle r_{{n}} = 2 \cos \left( \frac{{\pi }}{{2 n}} \right)$, 중심각 $\displaystyle 3 \pi / n$:

총 넓이 $\displaystyle n \times \left( 2 \cos \frac{{\pi }}{{2 n}} \right)^{{2}} \times \frac{{3 \pi }}{{2 n}}$

$\displaystyle S_{{n}} = 4 \cos ^{{2}} \left( \frac{{\pi }}{{2 n}} \right) \times \left( \frac{{n \sin ( \pi / n )}}{{2}} + \frac{{3 \pi }}{{2}} \right)$

$\displaystyle S_{{2 k + 1}} = 4 \cos ^{{2}} \left( \frac{{\pi }}{{2 ( 2 k + 1 )}} \right) \times \left( \frac{{( 2 k + 1 ) \sin ( \pi / ( 2 k + 1 ) )}}{{2}} + \frac{{3 \pi }}{{2}} \right)$

$\displaystyle \lim _{{k \to \infty }} S_{{2 k + 1}} = 8 \pi$

극한을 취하면 반지름 $\displaystyle 1$인 원 ‘회전도형‘이 반지름 $\displaystyle 1$인 원 ‘고정도형‘의 둘레에 접하며 움직이는 것과 같다 $\displaystyle ($아래 그림과 같이 반지름 $\displaystyle 3$인 원의 중심에 반지름 $\displaystyle 1$인 구멍이 뚫린 영역)