자연계열 (오후) 3번

(1) 정$\displaystyle n$각형의 인접한 두 꼭짓점 사이의 중심각은 $\displaystyle \frac{2\pi}n$이므로 $\displaystyle i$번째, $\displaystyle j$번째 꼭짓점 사이의 중심각은 $\displaystyle k=j-i$라 하면 $\displaystyle \frac{2\pi}nk$ ($\displaystyle 1\le k\le\frac n2$인 경우) 또는 $\displaystyle 2\pi-\frac{2\pi}nk$ ($\displaystyle \frac n2\le k\le n-1$인 경우)이다. 반지름 1인 원에서 중심각이 $\displaystyle 0\le\theta\le\pi$인 현의 길이는 $\displaystyle 2\sin\frac\theta2$이며 중심각이 $\displaystyle 2\pi-\theta$인 현 ($\displaystyle \pi\le\theta\le2\pi$)의 길이 또한 $\displaystyle 2\sin\frac{2\pi-\theta}2=2\sin\left(\pi-\frac\theta2\right)=2\sin\frac\theta2$이므로 $\displaystyle i$번째, $\displaystyle j$번째 꼭짓점 사이의 거리 $\displaystyle \overline{P_iP_j}$는 $\displaystyle 2\sin\frac\pi n k$이다.

(2) 꼭짓점 $\displaystyle {{P}}_{{i}}$와 다른 꼭짓점을 이은 선분들의 길이의 평균은 각 $\displaystyle 1 \leq i \leq n$에 대해 모두 동일한 값 $\displaystyle L_{{n}}$이다. 즉,

$\displaystyle L_n=\frac1{n-1}(\overline{P_1P_2}+\overline{P_1P_3}+\cdots+\overline{P_1P_n})$ ($\displaystyle P_1$와 다른 꼭짓점을 이은 선분의 길이의 평균)

$\displaystyle L_n=\frac1{n-1}(\overline{P_2P_1}+\overline{P_2P_3}+\cdots+\overline{P_2P_n})$ ($\displaystyle P_2$와 다른 꼭짓점을 이은 선분의 길이의 평균)

…

$\displaystyle L_n=\frac1{n-1}(\overline{P_nP_1}+\overline{P_nP_2}+\cdots+\overline{P_nP_{n-1}})$ ($\displaystyle P_n$와 다른 꼭짓점을 이은 선분의 길이의 평균)

임의의 두 꼭짓점을 잇는 선분은 위의 $\displaystyle n$개의 식의 우변에서 두 번씩 나타난다. 가령 꼭짓점 $\displaystyle {{P}}_{{i}}$, $\displaystyle {{P}}_{{j}}$를 잇는 선분은 $\displaystyle i$번째, $\displaystyle j$번째 식의 우변에 한 번씩 나타난다. 따라서 위의 $\displaystyle n$개의 식을 모두 더하면

$\displaystyle \begin{aligned}n\times L_n&=\frac1{n-1}\times2\times(\text{모든 선분의 길이의 합})\\&=\frac1{n-1}\times2\times\frac{n(n-1)}2\times M_n=n\times M_n\end{aligned}$

을 얻고, 따라서 $\displaystyle L_{{n}} = M_{{n}}$이다.

(3) (1)과 (2)에 의해

$\displaystyle \begin{aligned}M_n=L_n&=\frac1{n-1}(\overline{P_1P_2}+\overline{P_1P_3}+\cdots+\overline{P_1P_n})\\&=\frac1{n-1}\sum_{k=1}^{n-1}2\sin\left(\frac\pi nk\right)=\frac n{n-1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^n2\sin\left(\pi\frac kn\right)\end{aligned}\quad\left(\because\sin\left(\pi\frac nn\right)=0\right)$

이고, $\displaystyle n \to \infty$일 때 극한을 취하면 정적분과 급수 사이의 관계에 의해 극한값은

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}M_n&=\lim_{n\to\infty}\frac n{n-1}\times\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n2\sin\left(\pi\frac kn\right)\\&=1\times\int_0^1 2\sin\pi x\,dx=-\left.\frac2\pi\cos\pi x\right|_0^1=\frac4\pi\end{aligned}$이다.

(4) 정 $\displaystyle 2 n$각형에서 검은색, 흰색 꼭짓점들은 각각 $\displaystyle n$개 있다. 서로 다른 색 꼭짓점을 잇는 선분의 개수는 검은색 꼭짓점 중 하나, 흰색 꼭짓점 중 하나를 선택하는 경우의 수와 같으므로 $\displaystyle n \times n = n^{{2}}$이다. 서로 같은 색 꼭짓점을 잇는 선분의 개수는 전체에서 이 개수를 뺀 수이므로 $\displaystyle {}_{2n}\mathrm C_2 - n^{{2}} = \frac{{2 n ( 2 n - 1 )}}{{2}} - n^{{2}} = n ( n - 1 )$이다.

(5) 정 $\displaystyle 2 n$각형에서 검은색 꼭짓점들은 정 $\displaystyle n$각형의 꼭짓점들이다. 따라서 정 $\displaystyle 2 n$각형에서 두 꼭짓점이 모두 검은색인 선분의 개수는 정 $\displaystyle n$각형의 두 꼭짓점을 잇는 선분의 개수 $\displaystyle \frac{{n ( n - 1 )}}{{2}}$이고, 그 길이의 평균은 $\displaystyle M_{{n}}$이다. 두 꼭짓점이 모두 흰색인 선분의 개수와 길이의 평균도 마찬가지이다. 따라서 같은 색 꼭짓점을 잇는 선분의 길이의 평균은 $\displaystyle F_{{n}} = \frac{{1}}{{2}} M_{{n}} + \frac{{1}}{{2}} M_{{n}} = M_{{n}}$이고 그 극한은 $\displaystyle \ \lim _{{n \to \infty }} F_{{n}} = \lim _{{n \to \infty }} M_{{n}} = \frac{{4}}{{\pi }}$이다.

정 $\displaystyle 2 n$각형의 두 꼭짓점들을 잇는 선분들의 길이의 평균 $\displaystyle M_{{2 n}}$은 서로 같은색 꼭짓점을 잇는 선분들, 서로 다른색 두 꼭짓점을 잇는 선분들 각각의 개수와 길이의 평균으로부터

$\displaystyle M_{{2 n}} = \frac{{n ( n - 1 )}}{{2 n ( 2 n - 1 ) / 2}} F_{{n}} + \frac{{n^{{2}}}}{{2 n ( 2 n - 1 ) / 2}} G_{{n}} = \frac{{n - 1}}{{2 n - 1}} F_{{n}} + \frac{{n}}{{2 n - 1}} G_{{n}}$

와 같이 쓸 수 있다. $\displaystyle n \to \infty$일 때 극한을 취하면 $\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} M_{{2 n}} = \lim _{{n \to \infty }} M_{{n}} = \frac{{4}}{{\pi }}$로부터 $\displaystyle \frac{{4}}{{\pi }} = \frac{{1}}{{2}} \cdot \frac{{4}}{{\pi }} + \frac{{1}}{{2}} \cdot \lim _{{n \to \infty }} G_{{n}}$, 즉, $\displaystyle \lim _{{n \to \infty }} G_{{n}} = \frac{{4}}{{\pi }}$이다.