자연계열 (오후) 2번

(1) $\displaystyle f ( x )$의 그래프가 $\displaystyle x$축에 접하지 않으므로 근의 전후에서 $\displaystyle f ( x )$의 값의 부호가 바뀐다. $\displaystyle f ( x ) = 0$의 서로 다른 양의 실근을 $\displaystyle r_{{1}} < r_{{2}} < \cdots < r_{{k_{{0}}}}$라 하면, $\displaystyle a_{{0}} > 0$인 경우와 $\displaystyle a_{{0}} < 0$인 경우의 제시문에 주어진 것과 같은 표는 각각 아래와 같다.

$\displaystyle f ( x )$의 최고차항의 계수가 양수이므로, $\displaystyle r_{{k_{{0}}}} < x$인 $\displaystyle x$의 구간에서 $\displaystyle f ( x )$의 값의 부호는 $\displaystyle +$이어야 한다. 따라서, $\displaystyle a_{{0}} > 0$일 때 $\displaystyle ( - 1 )^{{k_{{0}}}}$의 부호가 $\displaystyle +$이어야 하므로 $\displaystyle k_{{0}}$는 짝수이다. 마찬가지로 $\displaystyle a_{{0}} < 0$일 때 $\displaystyle k_{{0}} + 1$이 짝수이어야 하므로 $\displaystyle k_{{0}}$는 홀수이다.

만약 $\displaystyle f ( x ) = 0$의 양의 실근이 존재하지 않는다면 즉, $\displaystyle k_{{0}} = 0$이라면, 위와 같은 표의 $\displaystyle x > 0$구간 전체에서 함숫값의 부호가 $\displaystyle +$이어야 하므로 $\displaystyle a_{{0}} > 0$이다. 따라서 이 경우도 (1)은 성립한다.

(2) 항상 $\displaystyle k_{{1}} \geq 0$이므로 $\displaystyle k_{{0}} \leq 1$인 경우 주어진 부등식은 당연히 성립한다. 이제 $\displaystyle k_{{0}} \geq 2$이라고 가정하고, $\displaystyle f ( x ) = 0$의 서로 다른 양의 실근을 $\displaystyle r_{{1}} < r_{{2}} < \cdots < r_{{k_{{0}}}}$라 하자.

각 $\displaystyle 1 \leq i \leq k_{{0}} - 1$에 대하여 롤의 정리에 의해 $\displaystyle r_{{i}} < s_{{i}} < r_{{i + 1}}$인 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 0$의 양의 실근 $\displaystyle s_{{i}}$이 존재한다.

즉, $\displaystyle r_{{1}} < s_{{1}} < r_{{2}} < s_{{2}} < r_{{3}} < \cdots < r_{{k_{{0}} - 1}} < s_{{k_{{0}} - 1}} < r_{{k_{{0}}}}$인 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 0$의 서로 다른 양의 실근 $\displaystyle s_{{1}}$, $\displaystyle s_{{2}}$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle s_{{k_{{0}} - 1}}$이 존재한다. 따라서 $\displaystyle k_{{1}} \geq k_{{0}} - 1$이 성립하므로 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{1}} + 1$이다.

(3) 문항 (1)에 의해 $\displaystyle f ( x )$의 상수항인 $\displaystyle a_{{0}}$와 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$의 상수항인 $\displaystyle a_{{1}}$의 부호가 같은 경우, $\displaystyle k_{{0}}$와 $\displaystyle k_{{1}}$은 모두 짝수이거나 모두 홀수이다. 따라서 $\displaystyle k_{{0}} \ne k_{{1}} + 1$이다. 문항 (2)에 의해 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{1}} + 1$이므로 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{1}}$이다.

(4) 문항 (3)에 의해 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{1}}$이다. $\displaystyle f^{\prime} ( x )$의 상수항인 $\displaystyle a_{{1}}$과 $\displaystyle f^{\prime\prime} ( x )$의 상수항인 $\displaystyle 2 a_{{2}}$의 부호가 같으므로 마찬가지로 문항 (3)에 의하여 $\displaystyle k_{{1}} \leq k_{{2}}$이다. 따라서 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{1}} \leq k_{{2}}$이므로 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{2}}$이다.

(5) 주어진 다항함수 $\displaystyle f ( x )$는 $\displaystyle a_{{0}}$, $\displaystyle a_{{1}}$, $\displaystyle a_{{2}}$의 부호가 모두 같다. 따라서, 문항 (4)의 결과에 의해 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{2}}$이다. 또한, $\displaystyle f^{\prime\prime} ( x ) = 4 \cdot 3 \cdot x^{{2}} + 3 \cdot 2718 \cdot x - 2 \cdot 2818$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime} ( x ) = 0$은 $\displaystyle 2$차 방정식이므로, $\displaystyle k_{{2}} \leq 2$이다. 따라서, $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{2}} \leq 2$이다.Correction. $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$의 일차항에서 계수 $\displaystyle 2$가 빠졌다. 올바른 식은 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=12x^2+6\cdot2718x-5636$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

문항 (1)에 의해 $\displaystyle a_{{0}} < 0$인 경우에 $\displaystyle k_{{0}}$는 홀수이므로, $\displaystyle k_{{0}} \leq 2$로부터 $\displaystyle k_{{0}} = 1$임을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle f ( x ) = 0$의 서로 다른 양의 실근의 개수는 $\displaystyle 1$이다.