자연계열 (오후) 2번

홍익대 서울캠퍼스 2021학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/hongik_seoul/2021su/jayeon_pm_2

다음의 예는 함수 $\displaystyle g ( x )$ 의 그래프와 함숫값의 부호를 나타낸 표이다. 방정식 $\displaystyle g ( x ) = 0$ 은 양의 실근 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ , $\displaystyle d$ 를 갖는다.

$x$	0	⋯	$a$	⋯	$b$	⋯	$c$	⋯	$d$	⋯
$g(x)$	$g(0)$	+	0	−	0	+	0	−	0	+

다음 롤의 정리에 따라, 위의 미분가능한 함수 $\displaystyle g ( x )$ 에 대하여 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 사이에 $\displaystyle g^{\prime} ( x ) = 0$ 의 양의 실근이 하나 이상 존재함을 알 수 있다.

<롤의 정리> 함수 $\displaystyle g ( x )$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle ( a , b )$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle g ( a ) = g ( b )$ 이면 $\displaystyle g^{\prime} ( c ) = 0$ 인 $\displaystyle c$ 가 열린구간 $\displaystyle ( a , b )$ 에 적어도 하나 존재한다.

실수 계수를 갖는 $\displaystyle n$ 차 다항함수 $\displaystyle f ( x ) = a_{{n}} x^{{n}} + a_{{n - 1}} x^{{n - 1}} + \cdots + a_{{1}} x + a_{{0}}$ 가 다음의 조건 (a)와 (b)를 만족한다.

(a) $\displaystyle a_{{n}} > 0$ , $\displaystyle a_{{n - 1}} \cdots a_{{1}} a_{{0}} \ne 0$

(b) 함수 $\displaystyle f ( x )$ , $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ , $\displaystyle f^{\prime\prime} ( x )$ 의 그래프들은 $\displaystyle x$ 축에 접하지 않는다.

이러한 다항함수 $\displaystyle f ( x )$ 에 대하여 세 방정식 $\displaystyle f ( x ) = 0$ , $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 0$ , $\displaystyle f^{\prime\prime} ( x ) = 0$ 의 서로 다른 양의 실근의 개수를 각각 $\displaystyle k_{{0}}$ , $\displaystyle k_{{1}}$ , $\displaystyle k_{{2}}$ 라고 하자.

(1) $\displaystyle a_{{0}} > 0$ 이면 $\displaystyle f ( x ) = 0$ 의 서로 다른 양의 실근의 개수 $\displaystyle k_{{0}}$ 가 짝수이고, $\displaystyle a_{{0}} < 0$ 이면 $\displaystyle k_{{0}}$ 가 홀수임을 위의 제시문에 주어진 것과 같은 표를 이용하여 설명하시오.

(2) 롤의 정리를 이용하여 $\displaystyle k_{{0}} \le k_{{1}} + 1$ 이 성립함을 설명하시오.

(3) $\displaystyle n \ge 1$ 이고 $\displaystyle a_{{0}}$ 와 $\displaystyle a_{{1}}$ 의 부호가 같은 경우, $\displaystyle k_{{0}} \le k_{{1}}$ 이 성립함을 설명하시오.

(4) $\displaystyle n \ge 2$ 이고 $\displaystyle a_{{0}}$ , $\displaystyle a_{{1}}$ , $\displaystyle a_{{2}}$ 의 부호가 모두 같은 경우, $\displaystyle k_{{0}} \le k_{{2}}$ 이 성립함을 설명하시오.

(5) 다항함수 $\displaystyle f ( x ) = x^{{4}} + 2718 x^{{3}} - 2818 x^{{2}} - 3141 x - 5926$ 는 제시문의 조건 (a)와 (b)를 만족한다. 위의 결과들을 이용하여 방정식 $\displaystyle f ( x ) = 0$ 의 서로 다른 양의 실근의 개수를 구하시오.

해설강의 준비중

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+5점 · 예시 답안의 표와 유사한 표를 그리고 정확한 논리 전개로 설명함 (5점)

(1) $\displaystyle f ( x )$ 의 그래프가 $\displaystyle x$ 축에 접하지 않으므로 근의 전후에서 $\displaystyle f ( x )$ 의 값의 부호가 바뀐다. $\displaystyle f ( x ) = 0$ 의 서로 다른 양의 실근을 $\displaystyle r_{{1}} < r_{{2}} < \cdots < r_{{k_{{0}}}}$ 라 하면, $\displaystyle a_{{0}} > 0$ 인 경우와 $\displaystyle a_{{0}} < 0$ 인 경우의 제시문에 주어진 것과 같은 표는 각각 아래와 같다.

(a) $a_0>0$ 인 경우
$x$	0	⋯	$r_1$	⋯	$r_2$	⋯	⋯	$r_{k_0}$	⋯
$f(x)$	$a_0$	+	0	−	0	+	⋯	0	$(-1)^{k_0}$ 의 부호

(b) $a_0<0$ 인 경우
$x$	0	⋯	$r_1$	⋯	$r_2$	⋯	⋯	$r_{k_0}$	⋯
$f(x)$	$a_0$	−	0	+	0	−	⋯	0	$(-1)^{k_0+1}$ 의 부호

$\displaystyle f ( x )$ 의 최고차항의 계수가 양수이므로, $\displaystyle r_{{k_{{0}}}} < x$ 인 $\displaystyle x$ 의 구간에서 $\displaystyle f ( x )$ 의 값의 부호는 $\displaystyle +$ 이어야 한다. 따라서, $\displaystyle a_{{0}} > 0$ 일 때 $\displaystyle ( - 1 )^{{k_{{0}}}}$ 의 부호가 $\displaystyle +$ 이어야 하므로 $\displaystyle k_{{0}}$ 는 짝수이다. 마찬가지로 $\displaystyle a_{{0}} < 0$ 일 때 $\displaystyle k_{{0}} + 1$ 이 짝수이어야 하므로 $\displaystyle k_{{0}}$ 는 홀수이다.

만약 $\displaystyle f ( x ) = 0$ 의 양의 실근이 존재하지 않는다면 즉, $\displaystyle k_{{0}} = 0$ 이라면, 위와 같은 표의 $\displaystyle x > 0$ 구간 전체에서 함숫값의 부호가 $\displaystyle +$ 이어야 하므로 $\displaystyle a_{{0}} > 0$ 이다. 따라서 이 경우도 (1)은 성립한다.

+3점 · 서로 다른 양의 실근을

\displaystyle 0<r_1<r_2<\cdots<r_{k_0}

와 같이 표현하고, 롤의 정리를 적용하여 설명함 (3점)

(2) 항상 $\displaystyle k_{{1}} \geq 0$ 이므로 $\displaystyle k_{{0}} \leq 1$ 인 경우 주어진 부등식은 당연히 성립한다. 이제 $\displaystyle k_{{0}} \geq 2$ 이라고 가정하고, $\displaystyle f ( x ) = 0$ 의 서로 다른 양의 실근을 $\displaystyle r_{{1}} < r_{{2}} < \cdots < r_{{k_{{0}}}}$ 라 하자.

각 $\displaystyle 1 \leq i \leq k_{{0}} - 1$ 에 대하여 롤의 정리에 의해 $\displaystyle r_{{i}} < s_{{i}} < r_{{i + 1}}$ 인 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 0$ 의 양의 실근 $\displaystyle s_{{i}}$ 이 존재한다.

즉, $\displaystyle r_{{1}} < s_{{1}} < r_{{2}} < s_{{2}} < r_{{3}} < \cdots < r_{{k_{{0}} - 1}} < s_{{k_{{0}} - 1}} < r_{{k_{{0}}}}$ 인 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = 0$ 의 서로 다른 양의 실근 $\displaystyle s_{{1}}$ , $\displaystyle s_{{2}}$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle s_{{k_{{0}} - 1}}$ 이 존재한다. 따라서 $\displaystyle k_{{1}} \geq k_{{0}} - 1$ 이 성립하므로 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{1}} + 1$ 이다.

+5점 · 문항 (1)의 결과를 이용하여

\displaystyle k_0\ne k_1+1

를 도출하고, 문항 (2)의 결과를 이용하여 설명함 (5점)

(3) 문항 (1)에 의해 $\displaystyle f ( x )$ 의 상수항인 $\displaystyle a_{{0}}$ 와 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 의 상수항인 $\displaystyle a_{{1}}$ 의 부호가 같은 경우, $\displaystyle k_{{0}}$ 와 $\displaystyle k_{{1}}$ 은 모두 짝수이거나 모두 홀수이다. 따라서 $\displaystyle k_{{0}} \ne k_{{1}} + 1$ 이다. 문항 (2)에 의해 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{1}} + 1$ 이므로 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{1}}$ 이다.

+3점 · 문항 (3)의 결과를 이용하여 설명함 (3점)

(4) 문항 (3)에 의해 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{1}}$ 이다. $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 의 상수항인 $\displaystyle a_{{1}}$ 과 $\displaystyle f^{\prime\prime} ( x )$ 의 상수항인 $\displaystyle 2 a_{{2}}$ 의 부호가 같으므로 마찬가지로 문항 (3)에 의하여 $\displaystyle k_{{1}} \leq k_{{2}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{1}} \leq k_{{2}}$ 이므로 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{2}}$ 이다.

+4점 · 문항 (4)의 결과를 이용하여

\displaystyle k_0\le k_2

를 도출하고, 문항 (1)의 결과를 이용하여

\displaystyle k_0=1

를 구함 (4점)

(5) 주어진 다항함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle a_{{0}}$ , $\displaystyle a_{{1}}$ , $\displaystyle a_{{2}}$ 의 부호가 모두 같다. 따라서, 문항 (4)의 결과에 의해 $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{2}}$ 이다. 또한, $\displaystyle f^{\prime\prime} ( x ) = 4 \cdot 3 \cdot x^{{2}} + 3 \cdot 2718 \cdot x - 2 \cdot 2818$ 이고 $\displaystyle f^{\prime\prime} ( x ) = 0$ 은 $\displaystyle 2$ 차 방정식이므로, $\displaystyle k_{{2}} \leq 2$ 이다. 따라서, $\displaystyle k_{{0}} \leq k_{{2}} \leq 2$ 이다.Correction. $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$ 의 일차항에서 계수 $\displaystyle 2$ 가 빠졌다. 올바른 식은 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=12x^2+6\cdot2718x-5636$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

문항 (1)에 의해 $\displaystyle a_{{0}} < 0$ 인 경우에 $\displaystyle k_{{0}}$ 는 홀수이므로, $\displaystyle k_{{0}} \leq 2$ 로부터 $\displaystyle k_{{0}} = 1$ 임을 알 수 있다. 따라서, $\displaystyle f ( x ) = 0$ 의 서로 다른 양의 실근의 개수는 $\displaystyle 1$ 이다.

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