자연계열 (오전) 2번

(1) 높이를 축으로 생각하면 축에 수직인 평면으로 자른 단면은 반지름 $\displaystyle 1 - \sqrt{{h}}$인 원이고 단면적은 $\displaystyle \pi ( 1 - \sqrt{{h}} )^{{2}}$이다. 다음과 같이 정적분을 이용하여 부피를 구한다.

$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1\pi(1-\sqrt h)^2\,dh&=\int_0^1\pi(1-2\sqrt h+h)\,dh\\&=\pi\Biggl[h-\frac43h^{3/2}+\frac12h^2\Biggr]_0^1\\&=\frac16\pi\end{aligned}$

(2) 점 $\displaystyle {{P}}$가 움직인 거리 $\displaystyle l$은 다음과 같다.

$\displaystyle l=\int_0^\pi\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$

$\displaystyle \frac{{d x}}{{d t}} = - e^{{- t}} \cos t - e^{{- t}} \sin t$, $\displaystyle \frac{{d y}}{{d t}} = - e^{{- t}} \sin t + e^{{- t}} \cos t$

이므로,

$\displaystyle \begin{aligned}l&=\int_0^\pi\sqrt{(-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t)^2+(-e^{-t}\sin t+e^{-t}\cos t)^2}\,dt\\&=\int_0^\pi e^{-t}\sqrt{(\cos t+\sin t)^2+(-\sin t+\cos t)^2}\,dt\\&=\int_0^\pi e^{-t}\sqrt{2(\sin^2t+\cos^2t)}\,dt\\&=\int_0^\pi e^{-t}\sqrt2\,dt\\&=\sqrt2\Biggl[-e^{-t}\Biggr]_0^\pi\\&=\sqrt2(1-e^{-\pi})\end{aligned}$

(3)

밑면의 중심과 밑면에 수직으로 지나는 평면으로 <그림 2>의 복부를 잘랐을 때, 원뿔의 단면은 위의 그림과 같이 $\displaystyle y = ( x - 1 )^{{2}}$와 $\displaystyle y = ( x + 1 )^{{2}}$에 각각 접하는 $\displaystyle 2$개의 직선들과 $\displaystyle x$축 상 $\displaystyle ( - 1 , 0 )$과 $\displaystyle ( 1 , 0 )$사이의 직선으로 이루어진 삼각형이다.

<그림 3>의 $\displaystyle x = a$에서 $\displaystyle y = ( x - 1 )^{{2}}$에 접하는 접선의 기울기는 $\displaystyle 2 ( a - 1 )$이며, 접선의 방정식은 다음과 같다.

$\displaystyle y = 2 ( a - 1 ) ( x - a ) + ( a - 1 )^{{2}}$

해당 직선이 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축과 만나는 점들은 각각 $\displaystyle \left( \frac{{a + 1}}{{2}} , 0 \right)$과 $\displaystyle \left( 0 , 1 - a^{{2}} \right)$이다.

즉, 원뿔 밑면의 반지름은 $\displaystyle \frac{{a + 1}}{{2}}$이고, 원뿔의 높이는 $\displaystyle 1 - a^{{2}}$이다.

따라서 원뿔의 부피는 $\displaystyle {{V}} = \frac{{1}}{{12}} \pi ( a + 1 )^{{2}} \left( 1 - a^{{2}} \right)$이다. 단, $\displaystyle 0 \leq a \leq 1$이다.

함수 $\displaystyle {{V}}$의 도함수 $\displaystyle \frac{{d {{V}}}}{{d a}} = \frac{{1}}{{6}} \pi ( a + 1 ) \left( - 2 a^{{2}} - a + 1 \right)$는 $\displaystyle a = \frac{{1}}{{2}}$에서 $\displaystyle \frac{{d {{V}}}}{{d a}} = 0$, $\displaystyle 0 < a < \frac{{1}}{{2}}$에서 $\displaystyle \frac{{d {{V}}}}{{d a}} > 0$, $\displaystyle \frac{{1}}{{2}} < a < 1$에서 $\displaystyle \frac{{d {{V}}}}{{d a}} < 0$을 만족한다. 그래프의 개형으로부터 구간 $\displaystyle [ 0 , 1 ]$에서 함수 $\displaystyle {{V}}$는 $\displaystyle a = \frac{{1}}{{2}}$에서 최댓값 $\displaystyle \frac9{64} \pi$을 취한다. 즉, 원뿔의 최대 부피는 $\displaystyle \frac{{9}}{{64}} \pi$이다.