자연계열 1번

(1) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$이면 $\displaystyle \triangle\mathrm{AB'P}$는 정삼각형이므로 아래 오른쪽 그림과 같이 $\displaystyle \triangle\mathrm{AB'C'}$은 한 각이 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$인 직각삼각형이 된다. 따라서 A와 C'사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{3}$ 이다.

(별해) $\displaystyle \triangle\mathrm{AB'P}$는 한변의 길이가 1인 정삼각형이므로 아래 왼쪽 그림에서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PB'}}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PC'}}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 이다. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}=(1,0)$ 이므로 A와 C'사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{3}$ 이다.

(2) <그림 2>에서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB'}}=(-\cos\theta,\sin\theta)$이다. 두 막대가 연결된 점 B'은 점 A를 중심으로 원운동을 하는데 속력이 1이므로 $\displaystyle \theta=t$ 이다.

$\displaystyle \triangle\mathrm{AB'P}$는 이등변 삼각형이므로 $\displaystyle \phi=\frac{1}{2}(\pi-\theta)$이다. 따라서 점 B'을 지나고 선분 PA와 수직인 직선과 선분 B'C'사이의 각도는 $\displaystyle \phi-\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{\theta}{2}$이고 선분 B'C'의 길이는 2이므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{B'C'}}=\left(-2\sin\frac{\theta}{2},\,-2\cos\frac{\theta}{2}\right)$ 이다.

A점을 원점으로 하고 직선 PA를 $\displaystyle x$축으로 하는 좌표에 대하여 막대 2의 끝 C'의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 하면$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC'}}=\overrightarrow{\mathrm{AB'}}+\overrightarrow{\mathrm{B'C'}}=\left(-\cos\theta-2\sin\frac{\theta}{2},\,\sin\theta-2\cos\frac{\theta}{2}\right)$ 이므로$\displaystyle x=-\cos t-2\sin\frac{t}{2},\quad y=\sin t-2\cos\frac{t}{2}$ 이다.

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\sin t-\cos\frac{t}{2}$, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=\cos t+\sin\frac{t}{2}$ 이므로 막대 2의 끝 C'의 속력은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}} &=\sqrt{\left(\sin t-\cos\frac{t}{2}\right)^{2}+\left(\cos t+\sin\frac{t}{2}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+\sin^{2}\frac{t}{2}+\cos^{2}\frac{t}{2}-2\left(\sin t\cos\frac{t}{2}-\cos t\sin\frac{t}{2}\right)} \\ &=\sqrt{2-2\sin\frac{t}{2}} \end{aligned}$$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$ (즉, $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$)일 때 속력을 구하면 $\displaystyle \sqrt{2-2\sin\frac{\pi}{6}}=1$ 이다.

(3) 막대 2의 끝 C'의 가속도는 (2)의 결과로부터$\displaystyle \left(\frac{d^{2}x}{dt^{2}},\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)=\left(\cos t+\frac{1}{2}\sin\frac{t}{2},\,-\sin t+\frac{1}{2}\cos\frac{t}{2}\right)$ 이고, 가속도의 크기는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{\left(\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)^{2}} &=\sqrt{\left(\cos t+\frac{1}{2}\sin\frac{t}{2}\right)^{2}+\left(\sin t-\frac{1}{2}\cos\frac{t}{2}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+\frac{1}{4}\left(\sin^{2}\frac{t}{2}+\cos^{2}\frac{t}{2}\right)-\left(\sin t\cos\frac{t}{2}-\cos t\sin\frac{t}{2}\right)} \\ &=\sqrt{\frac{5}{4}-\sin\frac{t}{2}} \end{aligned}$$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$ (즉, $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$)일 때 가속도의 크기를 구하면 $\displaystyle \sqrt{\frac{5}{4}-\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$이다.