홍익대 서울캠퍼스 2022학년도 수시 오전 자연계열 2번 해설

문제 2 (20점)

송신기 A와 수신기 B로 이루어져 있는 무선 네트워크를 가정하자. 송신기 A와 수신기 B의 거리는 $\displaystyle r$ km 이다 $\displaystyle (r>0)$ . 이 무선 네트워크에서 송신기 A는 수신기 B에게 0 또는 1을 보낸다. B는 A로부터 받은 신호 $\displaystyle X$ 를 이용하여 A가 0을 보냈는지 또는 1을 보냈는지를 결정하는데, B가 받은 신호 $\displaystyle X$ 는 다음과 같은 확률분포를 따른다.

a) 0을 전송한 경우: $\displaystyle X$ 는 정규분포 $\displaystyle N(0,0.5^{2})$ 을 따른다.b) 1을 전송한 경우: $\displaystyle X$ 는 정규분포 $\displaystyle N(r^{-2},0.5^{2})$ 을 따른다.

그리고, 수신기 B는 $\displaystyle X$ 를 이용하여, 송신기 A가 어떤 것을 보냈는지를 결정한다. 만약 $\displaystyle X>0.5r^{-2}$ 이라면 수신기 B는 송신기 A가 1을 보냈다고 결정하고, 그 외의 경우에는 송신기 A가 0을 보냈다고 결정한다. 송신기 A가 0을 보낼 확률과 1을 보낼 확률이 모두 0.5이다.

(1) 송신기 A가 0을 보낼 확률, 1을 보낼 확률을 각각 $\displaystyle P(0\text{보냄})$ , $\displaystyle P(1\text{보냄})$ 이라 하자. 수신기 B에서 오류가 일어날 확률은 조건부 확률을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다: $\displaystyle P(\text{오류})=P(0\text{결정}\,|\,1\text{보냄})\times P(1\text{보냄})+P(1\text{결정}\,|\,0\text{보냄})\times P(0\text{보냄})$ 송신기 A와 수신기 B 사이의 거리 $\displaystyle r=1$ km 일 때 수신기 B에서 오류가 일어날 확률을 아래의 표준정규분포표 <표 1>을 이용하여 계산하시오.

<표 1>
$z$	$\mathrm{P}(0\le Z\le z)$
0.25	0.10
0.50	0.19
0.75	0.27
1.00	0.34
1.25	0.39
1.50	0.43
1.75	0.46
2.00	0.48

(2) 수신기 B에서 오류가 일어날 확률을 거리 $\displaystyle r=1$ km와 거리 $\displaystyle r=2$ km인 두 경우에 대하여 각각 계산하시오. 그리고, $\displaystyle r=1$ km인 경우 오류가 일어날 확률의 제곱과 $\displaystyle r=2$ km인 경우 오류가 일어날 확률 각각을 소수점 셋째 자리에서 반올림하여 소수점 둘째 자리까지 구하고, 그 둘의 크기를 비교하시오.

(3) 직선 위의 A-B-C로 이루어진 릴레이 통신을 생각해 보자. A는 B에 0 또는 1을 보내고 B는 A로부터 받은 신호 $\displaystyle X$ 를 이용하여 A가 무엇을 보냈는지를 결정한다. 그리고, 릴레이 B는 결정된 신호 (0 또는 1) 를 C에게 보낸다. 이때, C가 B로부터 받은 신호의 확률분포는 제시문에서 언급된 수신기 B가 송신기 A로부터 받은 신호의 확률분포와 동일하다. A와 B 사이의 거리는 1 km이고 B와 C 사이의 거리 또한 1 km라고 하자. 이때, A로부터 2 km 떨어진 수신기 C에서 오류가 일어날 확률을 표준정규분포표 <표 1>을 이용하여 소수점 둘째 자리까지 구하시오. 이를 (2)에서 구한 거리가 $\displaystyle r=2$ km일 때 수신기 B에서 오류가 일어날 확률과 비교하시오.

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6점 만점 · 오류가 일어날 (조건부) 확률을 정규분포 확률변수로 나타냄 (2점) 이 확률을 표준정규분포 확률변수

\displaystyle Z

로 변환하여 나타냄 (2점) 표준정규분포표를 이용하여 확률값을 계산함 (2점)

(1) 정규분포 $\displaystyle N(\mu,\sigma^{2})$ 를 따르는 확률변수 $\displaystyle X$ 에 대해확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ 는 표준정규분포 $\displaystyle N(0,1)$ 를 따른다.송신기 A가 1을 보냈을 때, 수신기 B가 받은 신호 $\displaystyle X$ 는 정규분포 $\displaystyle N(r^{-2},0.5^{2})$ 을 따르므로 $\displaystyle \begin{aligned} P(0\text{결정}\,|\,1\text{보냄}) &=P(X\le0.5r^{-2}) \\ &=P(0.5Z+r^{-2}\le0.5r^{-2})=P(Z\le-r^{-2})=P(Z>r^{-2}) \end{aligned}$ 이다.마찬가지로 A가 0을 보냈을 때, B가 받은 신호 $\displaystyle X$ 는 $\displaystyle N(0,0.5^{2})$ 을 따르므로 $\displaystyle P(1\text{결정}\,|\,0\text{보냄})=P(X>0.5r^{-2})=P(0.5Z>0.5r^{-2})=P(Z>r^{-2})$ 이다.

송신기 A가 0과 1을 보내는 확률을 각각 0.5이므로 오류가 일어날 확률은 주어진 식으로부터 $\displaystyle \begin{aligned} P(\text{오류}) &=P(0\text{결정}\,|\,1\text{보냄})\times P(1\text{보냄})+P(1\text{결정}\,|\,0\text{보냄})\times P(0\text{보냄}) \\ &=P(Z>r^{-2})\times0.5+P(Z>r^{-2})\times0.5=P(Z>r^{-2}) \end{aligned}$ 이다. $\displaystyle r=1$ 일 때, 이 확률은 표준정규분포표로부터 $\displaystyle P(Z>1)=0.5-P(0\le Z\le1)=0.16$ 이다.

4점 만점 · r = 2일 때 확률을 계산함 (3점) r = 1일 때 확률의 제곱을 구하고 이를 비교함 (1점)

(2) (1)에서 구한 식으로부터r = 2km일 때 오류가 일어날 확률은 P(Z > 0.25) = 0.4 가 된다.r = 1km일 때 확률의 제곱의 값은 0.16^2 = 0.0256 이다.Comment. 문제에서 요구한 대로 소수점 둘째 자리까지 나타내면 $\displaystyle 0.03$ 이다.둘을 비교하면 r = 2일 때 오류를 일으킬 확률이 더 크다.

10점 만점 · C에서 오류가 일어나는 경우를 설명하고, 이를 이용하여 C에서 오류가 일어날 확률을 나타냄 (4점) A-B와 B-C에서 오류가 일어날 확률을 각각 구함 (4점) C에서 오류가 일어날 확률을 구함 (2점)

(3) 송신기-수신기 A-B와 B-C 각각에서 오류가 일어날 수 있다.따라서 C에서 오류가 일어나는 경우는 (즉, C에서 A가 보낸 신호와 반대로 결정하는 경우는) A-B에서 오류가 발생하고 B-C에서 무오류인 경우와 A-B에서 무오류이고 B-C에서 오류가 발생하는 경우이다.A-B와 B-C에서 오류가 일어나는 두 사건은 서로 독립사건이며,여사건의 확률에 의해 (무오류일 확률) = 1 - (오류일 확률) 이므로A-B에서 오류가 일어날 확률을 $\displaystyle p$ , B-C에서 오류가 일어날 확률을 $\displaystyle q$ 라 하면 (수신기 C에서 오류가 일어날 확률) = $\displaystyle p(1-q)+(1-p)q$ 이다.

송신기로부터 거리가 $\displaystyle r$ 인 수신기에서 오류가 일어날 확률을 (1)에서와 같이 구하면 $\displaystyle \begin{aligned} P(\text{오류}) &=P(0\text{결정}\,|\,1\text{보냄})\times P(1\text{보냄})+P(1\text{결정}\,|\,0\text{보냄})\times P(0\text{보냄}) \\ &=P(Z>r^{-2})\times P(1\text{보냄})+P(Z>r^{-2})\times P(0\text{보냄}) \\ &=P(Z>r^{-2})\times\{P(1\text{보냄})+P(0\text{보냄})\}=P(Z>r^{-2}) \end{aligned}$ 이다.

따라서 A-B에서 오류가 일어날 확률 $\displaystyle p$ 와 B-C에서 오류가 일어날 확률 $\displaystyle q$ 는 모두 $\displaystyle P(Z>1)=0.16$ 이고. 위에서 구한 식에 의해 (수신기 C에서 오류가 일어날 확률) = $\displaystyle p(1-q)+(1-p)q=2\times0.16\times0.84=0.27$ 이다.

이 확률은 (2)에서 구한 송신기-수신기의 거리가 2km일 때 수신기에서 오류가 일어날 확률 0.4 보다 작다. 즉, A-C 사이에 B가 있어서 신호를 중계할 때 오류가 발생할 확률이 더 작게 된다.

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