자연계열 2번

(1) 정규분포 $\displaystyle N(\mu,\sigma^{2})$를 따르는 확률변수 $\displaystyle X$에 대해확률변수 $\displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$는 표준정규분포 $\displaystyle N(0,1)$를 따른다.송신기 A가 1을 보냈을 때, 수신기 B가 받은 신호 $\displaystyle X$는 정규분포 $\displaystyle N(r^{-2},0.5^{2})$을 따르므로$\displaystyle \begin{aligned} P(0\text{결정}\,|\,1\text{보냄}) &=P(X\le0.5r^{-2}) \\ &=P(0.5Z+r^{-2}\le0.5r^{-2})=P(Z\le-r^{-2})=P(Z>r^{-2}) \end{aligned}$ 이다.마찬가지로 A가 0을 보냈을 때, B가 받은 신호 $\displaystyle X$는 $\displaystyle N(0,0.5^{2})$을 따르므로$\displaystyle P(1\text{결정}\,|\,0\text{보냄})=P(X>0.5r^{-2})=P(0.5Z>0.5r^{-2})=P(Z>r^{-2})$ 이다.

송신기 A가 0과 1을 보내는 확률을 각각 0.5이므로 오류가 일어날 확률은 주어진 식으로부터$\displaystyle \begin{aligned} P(\text{오류}) &=P(0\text{결정}\,|\,1\text{보냄})\times P(1\text{보냄})+P(1\text{결정}\,|\,0\text{보냄})\times P(0\text{보냄}) \\ &=P(Z>r^{-2})\times0.5+P(Z>r^{-2})\times0.5=P(Z>r^{-2}) \end{aligned}$ 이다.$\displaystyle r=1$ 일 때, 이 확률은 표준정규분포표로부터 $\displaystyle P(Z>1)=0.5-P(0\le Z\le1)=0.16$ 이다.

(2) (1)에서 구한 식으로부터r = 2km일 때 오류가 일어날 확률은 P(Z > 0.25) = 0.4 가 된다.r = 1km일 때 확률의 제곱의 값은 0.16^2 = 0.0256 이다.Correction. 문제에서 요구한 대로 소수점 둘째 자리까지 나타내면 $\displaystyle 0.03$이다.둘을 비교하면 r = 2일 때 오류를 일으킬 확률이 더 크다.

(3) 송신기-수신기 A-B와 B-C 각각에서 오류가 일어날 수 있다.따라서 C에서 오류가 일어나는 경우는 (즉, C에서 A가 보낸 신호와 반대로 결정하는 경우는) A-B에서 오류가 발생하고 B-C에서 무오류인 경우와 A-B에서 무오류이고 B-C에서 오류가 발생하는 경우이다.A-B와 B-C에서 오류가 일어나는 두 사건은 서로 독립사건이며,여사건의 확률에 의해 (무오류일 확률) = 1 - (오류일 확률) 이므로A-B에서 오류가 일어날 확률을 $\displaystyle p$, B-C에서 오류가 일어날 확률을 $\displaystyle q$라 하면 (수신기 C에서 오류가 일어날 확률) = $\displaystyle p(1-q)+(1-p)q$ 이다.

송신기로부터 거리가 $\displaystyle r$인 수신기에서 오류가 일어날 확률을 (1)에서와 같이 구하면$\displaystyle \begin{aligned} P(\text{오류}) &=P(0\text{결정}\,|\,1\text{보냄})\times P(1\text{보냄})+P(1\text{결정}\,|\,0\text{보냄})\times P(0\text{보냄}) \\ &=P(Z>r^{-2})\times P(1\text{보냄})+P(Z>r^{-2})\times P(0\text{보냄}) \\ &=P(Z>r^{-2})\times\{P(1\text{보냄})+P(0\text{보냄})\}=P(Z>r^{-2}) \end{aligned}$ 이다.

따라서 A-B에서 오류가 일어날 확률 $\displaystyle p$와 B-C에서 오류가 일어날 확률 $\displaystyle q$는 모두$\displaystyle P(Z>1)=0.16$ 이고. 위에서 구한 식에 의해 (수신기 C에서 오류가 일어날 확률) = $\displaystyle p(1-q)+(1-p)q=2\times0.16\times0.84=0.27$ 이다.

이 확률은 (2)에서 구한 송신기-수신기의 거리가 2km일 때 수신기에서 오류가 일어날 확률 0.4 보다 작다. 즉, A-C 사이에 B가 있어서 신호를 중계할 때 오류가 발생할 확률이 더 작게 된다.