자연계열 3번

(1) 3개의 소자 중 각각의 소자에 오류가 생길 사건은 서로 독립이며 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 오류가 생긴 소자의 개수는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(3,\frac{1}{2}\right)$를 따른다. [세로줄 수정]직후 첫 번째 세로줄에 오류가 남아있는 경우는 처음에 그 세로줄의 3개의 소자중 오류가 생긴 소자가 2개 또는 3개인 경우이므로 확률은 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{2}\times\frac{1}{2^{3}}+{}_{3}\mathrm{C}_{3}\times\frac{1}{2^{3}}=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$ 이다.

(2) 각 세로줄에 대해 [세로줄 수정] 직후 오류가 남아있을 사건은 서로 독립이고, (1)의 결과에 의해 각각의 확률은 1/2이다. 따라서, [세로줄 수정] 직후 $\displaystyle n$개의 세로줄 중 $\displaystyle k$개의 세로줄에 오류가 남아있을 확률은 이항분포에 의해 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}\times\frac{1}{2^{n}}$이다. 구하는 확률은 $\displaystyle n$개 중 2개 이하의 세로줄에 오류가 남아있는 사건의 여사건의 확률이므로$\displaystyle \mathrm{P}(A)=1-\frac{1}{2^{n}}\left({}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}\right)=1-\frac{1}{2^{n}}\left(1+n+\frac{n(n-1)}{2}\right)=1-\frac{1}{2^{n+1}}\left(n^{2}+n+2\right)$ 이다.

(3) $\displaystyle n=3$일 때, $\displaystyle 3\times3=9$개의 소자의 오류 여부를 O, X로 그림 (c), (d)와 같이 나타낸다면 $\displaystyle 2^{9}=516$가지 경우가 있다. 이들 중 각각의 세로줄에 두 개 이상의 오류가 있는 초기상태들의 집합이 $\displaystyle A$이다. $\displaystyle A$에 속하는 경우 중 만약 (d)와 같이 한 세로줄에 세 개의 오류가 있으면 세 개의 오류를 포함한 가로줄이 있게 되어서 장치는 오작동한다. 그러므로, 초기상태 $\displaystyle I\in C$이면, $\displaystyle I$는 각 세로줄에 오직 두 개씩의 오류를 가진다.Correction. $\displaystyle 2^9=512$이므로 $\displaystyle 516$은 $\displaystyle 512$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그런데, 두 개씩의 오류를 가진 세로줄은 $\displaystyle \begin{matrix}\bigcirc\\\times\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\bigcirc\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\times\\\bigcirc\end{matrix}$ 중 하나이다. 만약, $\displaystyle \begin{matrix}\bigcirc&\times&\bigcirc\\\times&\times&\times\\\times&\bigcirc&\times\end{matrix}$와 같이, 같은 모양의 세로줄이 있으면, 역시 세 개의 오류를 포함한 가로줄이 있게 되어서 장치는 오작동한다.

그러므로, $\displaystyle C=A-B$에 포함되는 초기상태는 (c)와 같이 $\displaystyle \begin{matrix}\bigcirc\\\times\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\bigcirc\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\times\\\bigcirc\end{matrix}$를 (중복없이) 나열한 것들이다. 따라서 $\displaystyle 3!=6$가지가 있다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{P}(C)=6/2^{9}=3/256$이다.

(4) $\displaystyle C=A-B$ 이므로 $\displaystyle B\cap C=\varnothing$, 즉 $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$는 서로 배반사건이다. 또한 $\displaystyle B\subset A$ 이므로 $\displaystyle A=B\cup C$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(C)$ 이다. $\displaystyle n=3$인 경우, (2)의 결과에 의해 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{1}{8}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(C)=\frac{1}{8}-\frac{3}{256}=\frac{29}{256}$ 이다.

(5) (3)에서와 같이 $\displaystyle n=4$일 때 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$에 속하는 경우를 구한다. 먼저 $\displaystyle 4\times3=12$개의 소자의 오류 여부를 O, X로 아래 그림 (e), (f)와 같이 나타낸다면 $\displaystyle 2^{12}$가지 경우가 있다. 이 중 $\displaystyle A$에 속하는 경우는 $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\times\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\bigcirc\\\times\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\bigcirc\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\times\\\bigcirc\end{matrix}$와 같은 세로줄이 (중복을 허용하여) 세 개 이상 있는 경우이다.이때, 네 세로줄 중에 하나가 $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\times\\\times\end{matrix}$ 이거나, $\displaystyle \begin{matrix}\bigcirc\\\times\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\bigcirc\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\times\\\bigcirc\end{matrix}$ 중 같은 세로줄이 2개 이상 있으면 (3)에서와 같이 [세로줄 수정]직후 세 개 이상의 오류를 포함한 (즉, X가 세 개 이상인) 가로줄이 있어서 오작동한다. (즉, $\displaystyle B$에 속하는 경우이다.)

따라서, $\displaystyle C$에 속하는 경우는 네 개의 세로줄 중 $\displaystyle \begin{matrix}\bigcirc\\\times\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\bigcirc\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\times\\\bigcirc\end{matrix}$이 하나씩 있고 나머지 한 세로줄은 오류가 한 개 이하인 즉, 아래그림의 (g) 중 하나인 경우이다. 이러한 경우의 수는 4개의 세로줄 중 3개를 선택하여 $\displaystyle \begin{matrix}\bigcirc\\\times\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\bigcirc\\\times\end{matrix}$, $\displaystyle \begin{matrix}\times\\\times\\\bigcirc\end{matrix}$을 나열하고 나머지 한줄에 (g)의 세로줄 4가지 중 하나를 선택하는 경우의 수이므로 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{3}\times3!\times4$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(C)=\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{3}\times3!\times4}{2^{12}}=\frac{3}{128}$ 이다.

(2)에 의해 $\displaystyle n=4$일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{5}{16}$ 이고, (4)에서와 같이 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(C)$ 이므로,$\displaystyle \mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(C)=\frac{5}{16}-\frac{3}{128}=\frac{37}{128}$ 이다.

$\displaystyle \underset{\text{(e)}}{\begin{matrix}\bigcirc&\times&\bigcirc&\times\\\times&\times&\times&\bigcirc\\\times&\bigcirc&\times&\times\end{matrix}}\qquad\underset{\text{(f)}}{\begin{matrix}\bigcirc&\times&\times&\bigcirc\\\times&\times&\times&\bigcirc\\\times&\bigcirc&\times&\times\end{matrix}}\qquad\underset{\text{(g)}}{\begin{matrix}\bigcirc&\times&\bigcirc&\bigcirc\\\bigcirc&\bigcirc&\times&\bigcirc\\\bigcirc&\bigcirc&\bigcirc&\times\end{matrix}}$