홍익대 서울캠퍼스 2022학년도 수시 오전 자연계열 3번 해설

문제 3 (20점)

(가) 자전거를 <그림 1>과같이 각 바퀴의 중심이 양 끝점에 있는 길이가 $\displaystyle l$ 인 선분으로 볼 수 있다. 앞바퀴의 진행 방향은 선분과 일정한 각도 $\displaystyle \theta$ 를 유지하고, 뒷바퀴의 진행 방향은 항상 선분과 같은 방향이다. 각각의 바퀴는 미끄러지지 않고 진행한다 $\displaystyle (\theta>0)$ .※ 앞바퀴와 뒷바퀴가 지나간 자취는 서로 다른 원 위에 있음이 알려져 있다.

(나) 자동차의 움직임을 <그림 2>와 같이 각 바퀴의 중심이 네 꼭짓점에 있는, 가로의 길이가 $\displaystyle w$ 이고, 세로의 길이가 $\displaystyle l$ 인 직사각형의 움직임으로 볼 수 있다. 두 앞바퀴의 진행 방향은 세로 방향과 일정한 각도 $\displaystyle \theta_{1}$ , $\displaystyle \theta_{2}$ 를 각각 유지하고, 뒷바퀴의 진행 방향은 세로 방향과 항상 같은 방향이다 $\displaystyle (\theta_{1}>0,\ \theta_{2}>0)$ . 각각의 바퀴는 미끄러지지 않고 진행한다.

(다) 각 바퀴의 회전 반지름은 '바퀴의 중심에서 해당 바퀴가 그리는 원의 중심까지 거리'로 정의하고, 모든 바퀴의 두께와 크기는 무시한다.

<그림 1>은 길이 l인 선분의 두 끝에 앞바퀴와 뒷바퀴가 있고 앞바퀴가 선분과 각 θ를 이루는 자전거 모형, <그림 2>는 가로 w·세로 l인 직사각형의 네 꼭짓점에 바퀴가 있고 두 앞바퀴가 각각 θ₁, θ₂를 이루는 자동차 모형이다.

(1) <그림 1>에서 앞바퀴 회전 반지름과 뒷바퀴 회전 반지름을 각각 $\displaystyle \theta$ 와 $\displaystyle l$ 로 나타내시오.

(2) <그림 2>에서 각도 $\displaystyle \theta_{1}$ 과 각도 $\displaystyle \theta_{2}$ 의 관계식을 $\displaystyle l$ 과 $\displaystyle w$ 를 사용하여 구하시오.

(3) (2)번과 같은 조건으로 자동차가 움직일 때, 바퀴가 도로에서 벗어나지 않고 지나갈 수 있는 도로의 최소 폭 $\displaystyle s$ 를 $\displaystyle l$ , $\displaystyle w$ , $\displaystyle \theta_{2}$ 만을 사용하여 구하시오.

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4점 만점 · 앞바퀴와 뒷바퀴의 회전 반지름을 각각 구함 (각 2점씩)

(1) 각 바퀴의 진행 방향은 회전 반지름과 수직이다.따라서 아래의 그림에서 앞바퀴의 진행 방향에 수직인 직선과 뒷바퀴의 진행 방향에 수직인 직선의 교점 $\displaystyle O$ 는 앞바퀴, 뒷바퀴가 각각 그리는 두 원의 공통의 중심이다. 그림에서 앞바퀴의 회전 반지름(빗변)은 $\displaystyle \overline{OA}=R_{A}$ , 뒷바퀴의 회전 반지름(밑변)은 $\displaystyle \overline{OB}=R_{B}$ 이다.직각삼각형 $\displaystyle AOB$ 의 높이는 두 바퀴 사이의 거리 $\displaystyle l$ 이고 $\displaystyle \angle AOB$ 는 앞바퀴의 진행 방향 각도 $\displaystyle \theta$ 와 같으므로 $\displaystyle l=R_{A}\sin(\theta)=R_{B}\tan(\theta)$ 이다. 즉, $\displaystyle R_{A}=\frac{l}{\sin(\theta)},\qquad R_{B}=\frac{l}{\tan(\theta)}$ 이다.

회전 중심 O에서 앞바퀴 A까지의 거리 R_A와 뒷바퀴 B까지의 거리 R_B를 두 변으로 하는 직각삼각형. 높이가 l이고 O의 각이 θ이다.

8점 만점 · 뒷바퀴 2개의 회전 반지름을 각각 구함 (각 2점씩) 위의 두 회전 반지름과 자동차의 너비

\displaystyle w

사이의 관계를 이용하여 식을 구함 (4점)

(2) 아래 그림에서와 같이 O를 중심으로 회전하는 자동차의 안쪽 앞바퀴 A, 안쪽 뒷바퀴 B, 바깥쪽 앞바퀴 C, 바깥쪽 뒷바퀴 D의 회전 반지름을 각각 $\displaystyle R_{A},R_{B},R_{C},R_{D}$ 라 하자. 그림에서 $\displaystyle \theta_{1}=\angle AOB$ , $\displaystyle \theta_{2}=\angle COD$ 라 하면, (1)에서와 같이 $\displaystyle R_{A}=\frac{l}{\sin(\theta_{1})},\ R_{B}=\frac{l}{\tan(\theta_{1})},\ R_{C}=\frac{l}{\sin(\theta_{2})},\ R_{D}=\frac{l}{\tan(\theta_{2})}$ 이다.

회전 중심 O와 자동차 네 바퀴 A·B·C·D. 안쪽 앞바퀴 A까지 R_A, 바깥쪽 앞바퀴 C까지 R_C, 안쪽 뒷바퀴 B까지 R_B가 그려져 있고 O의 각이 θ₁, θ₂로 표시되어 있다.

$\displaystyle R_{D}=R_{B}+w$ 이므로 $\displaystyle R_{B}=\frac{l}{\tan(\theta_{1})}$ , $\displaystyle R_{D}=\frac{l}{\tan(\theta_{2})}$ 을 대입하여 정리하면 아래 식을 얻는다. $\displaystyle \frac{1}{\tan(\theta_{2})}=\frac{1}{\tan(\theta_{1})}+\frac{w}{l}$

8점 만점 · 네 바퀴의 회전 반지름 중 최솟값과 최댓값을 구함 (각 2점씩) 두 반지름의 차이가 도로의 최소 폭임을 설명하고

\displaystyle l

,

\displaystyle w

,

\displaystyle \theta_{2}

을 이용하여 그 값을 구함 (4점)

(3) 다음 그림에서 표시된 $\displaystyle s$ 가 문제에서 묻는 길의 최소 폭이다.

회전 중심 O를 중심으로 안쪽 뒷바퀴 B가 그리는 작은 원호와 바깥쪽 앞바퀴 C가 그리는 큰 원호 사이의 간격을 s로 표시한 그림.

이는 가장 작은 회전 반지름을 가지는 안쪽 뒷바퀴 B와 가장 큰 회전 반지름을 가지는 바깥쪽 앞바퀴 C의 회전 반지름의 차이이다. 즉, $\displaystyle s=R_{C}-R_{B}$ 이다. (1), (2)에서 구한 $\displaystyle R_{B}=\frac{l}{\tan(\theta_{1})}$ , $\displaystyle R_{C}=\frac{l}{\sin(\theta_{2})}$ , $\displaystyle \frac{1}{\tan(\theta_{2})}=\frac{1}{\tan(\theta_{1})}+\frac{w}{l}$ 를 대입하여 정리하면 아래 식을 얻는다. $\displaystyle \begin{aligned} s=R_{C}-R_{B} &=\frac{l}{\sin(\theta_{2})}-\frac{l}{\tan(\theta_{1})} \\ &=\frac{l}{\sin(\theta_{2})}-\frac{l}{\tan(\theta_{2})}+w=\frac{l(1-\cos(\theta_{2}))}{\sin(\theta_{2})}+w \end{aligned}$

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