자연계열 3번

(1) 각 바퀴의 진행 방향은 회전 반지름과 수직이다.따라서 아래의 그림에서 앞바퀴의 진행 방향에 수직인 직선과 뒷바퀴의 진행 방향에 수직인 직선의 교점 $\displaystyle O$는 앞바퀴, 뒷바퀴가 각각 그리는 두 원의 공통의 중심이다. 그림에서 앞바퀴의 회전 반지름(빗변)은 $\displaystyle \overline{OA}=R_{A}$, 뒷바퀴의 회전 반지름(밑변)은 $\displaystyle \overline{OB}=R_{B}$ 이다.직각삼각형 $\displaystyle AOB$의 높이는 두 바퀴 사이의 거리 $\displaystyle l$이고 $\displaystyle \angle AOB$는 앞바퀴의 진행 방향 각도 $\displaystyle \theta$와 같으므로 $\displaystyle l=R_{A}\sin(\theta)=R_{B}\tan(\theta)$ 이다. 즉,$\displaystyle R_{A}=\frac{l}{\sin(\theta)},\qquad R_{B}=\frac{l}{\tan(\theta)}$ 이다.

(2) 아래 그림에서와 같이 O를 중심으로 회전하는 자동차의 안쪽 앞바퀴 A, 안쪽 뒷바퀴 B, 바깥쪽 앞바퀴 C, 바깥쪽 뒷바퀴 D의 회전 반지름을 각각 $\displaystyle R_{A},R_{B},R_{C},R_{D}$ 라 하자. 그림에서 $\displaystyle \theta_{1}=\angle AOB$, $\displaystyle \theta_{2}=\angle COD$ 라 하면, (1)에서와 같이$\displaystyle R_{A}=\frac{l}{\sin(\theta_{1})},\ R_{B}=\frac{l}{\tan(\theta_{1})},\ R_{C}=\frac{l}{\sin(\theta_{2})},\ R_{D}=\frac{l}{\tan(\theta_{2})}$ 이다.

$\displaystyle R_{D}=R_{B}+w$ 이므로 $\displaystyle R_{B}=\frac{l}{\tan(\theta_{1})}$, $\displaystyle R_{D}=\frac{l}{\tan(\theta_{2})}$을 대입하여 정리하면 아래 식을 얻는다.$\displaystyle \frac{1}{\tan(\theta_{2})}=\frac{1}{\tan(\theta_{1})}+\frac{w}{l}$

(3) 다음 그림에서 표시된 $\displaystyle s$가 문제에서 묻는 길의 최소 폭이다.

이는 가장 작은 회전 반지름을 가지는 안쪽 뒷바퀴 B와 가장 큰 회전 반지름을 가지는 바깥쪽 앞바퀴 C의 회전 반지름의 차이이다. 즉, $\displaystyle s=R_{C}-R_{B}$ 이다. (1), (2)에서 구한$\displaystyle R_{B}=\frac{l}{\tan(\theta_{1})}$, $\displaystyle R_{C}=\frac{l}{\sin(\theta_{2})}$, $\displaystyle \frac{1}{\tan(\theta_{2})}=\frac{1}{\tan(\theta_{1})}+\frac{w}{l}$ 를 대입하여 정리하면 아래 식을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned} s=R_{C}-R_{B} &=\frac{l}{\sin(\theta_{2})}-\frac{l}{\tan(\theta_{1})} \\ &=\frac{l}{\sin(\theta_{2})}-\frac{l}{\tan(\theta_{2})}+w=\frac{l(1-\cos(\theta_{2}))}{\sin(\theta_{2})}+w \end{aligned}$