자연계열 1번

(1) 종이를 접을 때 원점 $\displaystyle O$로 옮겨지는 아랫변 위의 점을 $\displaystyle H$라 하자.접는 선은 선분 $\displaystyle OH$의 수직이등분선이다.점 $\displaystyle H$에서 아랫변에 수직으로 그은 직선과 접는 선의 교점을 $\displaystyle P$라 하면$\displaystyle PO=PH$이므로, 점 $\displaystyle P$는 초점이 $\displaystyle O(0,0)$이고 준선이 $\displaystyle y=-1$인 포물선 위에 있다.

이제 접는 선이 이 포물선의 접선임을 확인하자.$\displaystyle H=(t,-1)$이라 하면, 접는 선 위의 점 $\displaystyle (x,y)$는 원점 $\displaystyle O$와 점 $\displaystyle H$까지의 거리가 같으므로$\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x-t)^{2}+(y+1)^{2}$따라서 접는 선의 방정식은$\displaystyle y=tx-\frac{t^{2}+1}{2}$이다.

한편 위 포물선의 방정식은 $\displaystyle y=f(x)=\frac{x^{2}-1}{2}$이고,$\displaystyle P=\left(t,\frac{t^{2}-1}{2}\right),\qquad f^{\prime}(t)=t$이므로 $\displaystyle P$에서의 접선은$\displaystyle y-\frac{t^{2}-1}{2}=t(x-t)$이다. 이는 접는 선의 방정식과 일치한다.또한 포물선과 접는 선의 높이 차는$\displaystyle \frac{x^{2}-1}{2}-\left(tx-\frac{t^{2}+1}{2}\right)=\frac{(x-t)^{2}}{2}\ge0$이며 등호는 $\displaystyle x=t$일 때만 성립한다.따라서 접는 선은 포물선 아래에 놓이면서 $\displaystyle P$에서 접한다. 접는 위치를 바꾸면 접점 $\displaystyle P$가 이 포물선 위를 움직이므로, 접힌 자국이 없는 쪽의 경계는 이 포물선의 일부가 된다.준선은 $\displaystyle y=-1$, 초점은 $\displaystyle O(0,0)$이다.

(2) 초점이 원점이고 준선이 $\displaystyle y=-1$인 포물선은$\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}}=|y+1|\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=2y+1$이다. 나머지 세 변에 대해서도 같은 방법을 적용하면$\displaystyle \begin{aligned}y=-1 &: \quad x^{2}=2y+1,\\ y=1 &: \quad x^{2}=-2y+1,\\ x=-1 &: \quad y^{2}=2x+1,\\ x=1 &: \quad y^{2}=-2x+1\end{aligned}$을 얻는다.

(3) 영역 $\displaystyle R$는 두 좌표축과 직선 $\displaystyle y=x$, $\displaystyle y=-x$에 대하여 대칭이다.따라서 아래쪽 포물선 $\displaystyle y=\frac{x^{2}-1}{2}$, 직선 $\displaystyle y=x$, $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이에 $\displaystyle 8$을 곱하면 된다.포물선과 직선 $\displaystyle y=x$의 제3사분면 교점은$\displaystyle x^{2}-2x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=y=1-\sqrt{2}$이다. 이 구간에서는 직선이 포물선보다 위에 있으므로, 구하는 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}8\int_{1-\sqrt{2}}^{0}\left(x-\frac{x^{2}-1}{2}\right)dx&=8\Biggl[-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{2}\Biggr]_{1-\sqrt{2}}^{0}\\&=\frac{16\sqrt{2}-20}{3}\end{aligned}$이다.