자연계열 3번

(1) $\displaystyle \frac{m}{n}$이 문제에서 구하는 분수라면 $\displaystyle \frac{m}{n}\le c<\frac{m+1}{n}$ 이다. 즉, $\displaystyle m\le nc<m+1$ 이므로, $\displaystyle m=[nc]$이고, $\displaystyle \frac{m}{n}=\frac{[nc]}{n}$이 된다.

(2) 줄간격이 $\displaystyle \frac{1}{n}$인 모눈종이에 함수의 그래프를 그렸다고 생각하자.$\displaystyle x$축상의 두 점 $\displaystyle a,b$ 사이에는 길이 $\displaystyle \frac{1}{n}$인 작은 구간이 $\displaystyle n(b-a)$개 있다.$\displaystyle k$번째 소구간 위쪽의 정사각형(즉, 모눈종이의 칸) 중 그래프와 만나는 가장 아래쪽의 정사각형은 (1)에 의해 밑변의 높이(즉, $\displaystyle y$좌표)가 $\displaystyle \frac{[nm_{k}]}{n}$이고, 가장 위쪽의 정사각형은 밑변의 높이가 $\displaystyle \frac{[nM_{k}]}{n}$이 되어 그래프와 만나는 정사각형의 개수는 $\displaystyle [nM_{k}]-[nm_{k}]+1$이다.$\displaystyle k$번째 소구간 위쪽의 정사각형들 중 그래프와 만나지 않고 그 아래쪽에 있는 것들은 위에서 구한 밑변의 높이가 $\displaystyle \frac{[nm_{k}]}{n}$인 정사각형 아래쪽의 정사각형들이므로 개수는 $\displaystyle [nm_{k}]$이다.따라서, $\displaystyle s(n)=\sum_{k=1}^{n(b-a)}([nM_{k}]-[nm_{k}]+1)$, $\displaystyle t(n)=\sum_{k=1}^{n(b-a)}[nm_{k}]$ 이다.

(3) 소구간에서 증가하는 함수는 최솟값을 소구간의 왼쪽 끝점에서, 최댓값을 오른쪽 끝점에서 가진다. 감소할 때는 반대이다. $\displaystyle k$번째 소구간은 $\displaystyle \left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$ $\displaystyle (k=1,2,\cdots,3n)$ 이므로 주어진 함수의 증가, 감소를 고려하면 각 소구간에서 최댓값, 최솟값은 아래와 같다.$\displaystyle M_{k}=\begin{cases}\frac{2k}{n} & 1\le k\le n \\ -\frac{k-1}{2n}+\frac{5}{2} & n+1\le k\le3n\end{cases}\qquad[nM_{k}]=\begin{cases}2k & 1\le k\le n \\ \left[\frac{-k+1+5n}{2}\right] & n+1\le k\le3n\end{cases}$$\displaystyle m_{k}=\begin{cases}\frac{2(k-1)}{n} & 1\le k\le n \\ -\frac{k}{2n}+\frac{5}{2} & n+1\le k\le3n\end{cases}\qquad[nm_{k}]=\begin{cases}2(k-1) & 1\le k\le n \\ \left[\frac{-k+5n}{2}\right] & n+1\le k\le3n\end{cases}$

(2)에 의해서$\displaystyle \begin{aligned} s(n) &=\sum_{k=1}^{3n}([nM_{k}]-[nm_{k}]+1) \\ &=\sum_{k=1}^{n}(2k-2(k-1)+1)+\sum_{k=n+1}^{3n}\left(\left[\frac{-k+1+5n}{2}\right]-\left[\frac{-k+5n}{2}\right]+1\right) \\ &=\sum_{k=1}^{n}3+\sum_{k=n+1}^{3n}\left(\left[\frac{-k+1+5n}{2}\right]-\left[\frac{-k+5n}{2}\right]\right)+\sum_{k=n+1}^{3n}1 \end{aligned}$이다.

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3=3n$, $\displaystyle \sum_{k=n+1}^{3n}1=2n$ 이고,$\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{k=n+1}^{3n}\left(\left[\frac{-k+1+5n}{2}\right]-\left[\frac{-k+5n}{2}\right]\right) \\ &=\left(\left[\frac{4n}{2}\right]-\left[\frac{4n-1}{2}\right]\right)+\left(\left[\frac{4n-1}{2}\right]-\left[\frac{4n-2}{2}\right]\right)+\left(\left[\frac{4n-2}{2}\right]-\left[\frac{4n-3}{2}\right]\right)+\cdots+\left(\left[\frac{2n+1}{2}\right]-\left[\frac{2n}{2}\right]\right) \\ &=\left[\frac{4n}{2}\right]-\left[\frac{2n}{2}\right]=2n-n=n \end{aligned}$이다.

위 식의 두 번째 줄을 $\displaystyle 2\times2n$ 개의 항의 합으로 볼 때, 중간의 항들은 연이은 두 항씩 서로 상쇄되어 첫 항과 마지막 항만 남는다. 따라서, $\displaystyle s(n)=6n$ 이다.

마찬가지로, (2)에 의해$\displaystyle t(n)=\sum_{k=1}^{3n}[nm_{k}]=\sum_{k=1}^{n}2(k-1)+\sum_{k=n+1}^{3n}\left[\frac{-k+5n}{2}\right]$ 이다.$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=n+1}^{3n}\left[\frac{-k+5n}{2}\right] &=\left[\frac{4n-1}{2}\right]+\left[\frac{4n-2}{2}\right]+\left[\frac{4n-3}{2}\right]+\left[\frac{4n-4}{2}\right]+\cdots+\left[\frac{2n}{2}\right] \\ &=\left[2n-\frac{1}{2}\right]+[2n-1]+\left[2n-1-\frac{1}{2}\right]+[2n-2]+\cdots+[n] \\ &=(2n-1)+(2n-1)+(2n-2)+(2n-2)+\cdots+n \\ &=\sum_{k=1}^{n}2(2n-k) \end{aligned}$이다. (위 식의 두 번째 줄에서 항은 $\displaystyle 2n$개이며, 가우스 기호 안의 값은 $\displaystyle \frac{1}{2}$씩 줄어든다. 따라서 그 값은 세 번째 줄에서와 같이 $\displaystyle 2n-1,2n-2,\cdots,n$이 연달아 두 번씩 나타난다.)

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2(k-1)=2\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}2=n(n+1)-2n=n^{2}-n$ 이고,$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2(2n-k)=\sum_{k=1}^{n}4n-2\sum_{k=1}^{n}k=4n^{2}-n(n+1)=3n^{2}-n$ 이므로,정리하면 $\displaystyle t(n)=4n^{2}-2n$ 이다.

(4) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s(n)}{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{6n}{n^{2}}=0$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{t(n)}{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{4n^{2}-2n}{n^{2}}=4$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s(n)}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{6n}{n}=6$ 이다.$\displaystyle t(n)$은 그래프의 아래 $\displaystyle x$축 위쪽의 정사각형들의 개수이고, $\displaystyle \frac{1}{n^{2}}$는 각 정사각형의 넓이이므로 $\displaystyle \frac{t(n)}{n^{2}}$는 이 정사각형들의 넓이의 합이다. 그 극한 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{t(n)}{n^{2}}$은 그래프와 $\displaystyle x$축 사이의 넓이이다.실제로 그래프와 $\displaystyle x$축 사이의 넓이를 계산하면 (문제의 그림에서 삼각형과 사다리꼴의 넓이의 합) $\displaystyle \frac{1}{2}\times1\times2+2\times\frac{(2+1)}{2}=4$ 이다.주어진 함수 그래프의 길이는 $\displaystyle (0,0)$과 $\displaystyle (1,2)$를 잇는 선분의 길이와 $\displaystyle (1,2)$와 $\displaystyle (3,1)$을 잇는 선분의 길이의 합이므로 $\displaystyle \sqrt{1+4}+\sqrt{4+1}=2\sqrt{5}$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{s(n)}{n}$는 그래프의 길이를 나타내지 않는다.