자연계열 2번

(1) $\displaystyle m=3,p=0.1$인 경우이다. 위와 같이 최종 결정 오류가 발생할 확률은$\displaystyle \binom{3}{2}\times0.1^{2}\times0.9+\binom{3}{3}\times0.1^{3}=0.028$ 이다.

(2) $\displaystyle m=3,p=0.2$인 경우이다. 최종 결정 오류가 발생할 확률은$\displaystyle \binom{3}{2}\times0.2^{2}\times0.8+\binom{3}{3}\times0.2^{3}=0.104$ 이다.(1)에서 구한 확률과의 비는 $\displaystyle \frac{0.104}{0.028}=3.7142\cdots$이고 소수점 둘째 자리에서 반올림하면 3.7 이다.

(3) $\displaystyle p=0.2$, $\displaystyle m=5,7,9$인 각 경우 최종 결정 오류가 발생할 확률을 문제에서 주어진 표를 이용하여 대략 구하여 (1)에서 구한 값 0.028과 비교한다.

$\displaystyle m=5,p=0.2$ 일 때, 최종 결정 오류가 발생할 확률은$\displaystyle \binom{5}{3}\times0.2^{3}\times0.8^{2}+\binom{5}{4}\times0.2^{4}\times0.8^{1}+\binom{5}{5}\times0.2^{5}\times0.8^{0}$ 이다.$\displaystyle \binom{5}{3}\times0.2^{3}\times0.8^{2}=0.0512>0.028$이므로 이 확률값은 0.028 보다 크다.

마찬가지로 $\displaystyle m=7,p=0.2$ 일 때, 최종 결정 오류가 발생할 확률은$\displaystyle \binom{7}{4}\times0.2^{4}\times0.8^{3}+\binom{7}{5}\times0.2^{5}\times0.8^{2}+\binom{7}{6}\times0.2^{6}\times0.8^{1}+\binom{7}{7}\times0.2^{7}\times0.8^{0}$ 인데,$\displaystyle \binom{7}{4}\times0.2^{4}\times0.8^{3}=0.028672>0.028$ 이므로 이 확률값은 0.028 보다 크다.

$\displaystyle m=9,p=0.2$ 일 때, 최종 결정 오류가 발생할 확률은$\displaystyle \binom{9}{5}\times0.2^{5}\times0.8^{4}+\binom{9}{6}\times0.2^{6}\times0.8^{3}+\binom{9}{7}\times0.2^{7}\times0.8^{2}+\binom{9}{8}\times0.2^{8}\times0.8^{1}+\binom{9}{9}\times0.2^{9}\times0.8^{0}$ 이다.

문제에서 주어진 표를 이용하여 계산하면 $\displaystyle \binom{9}{5}\times0.2^{5}\times0.8^{4}+\binom{9}{6}\times0.2^{6}\times0.8^{3}=0.019\cdots$이다.$\displaystyle \binom{9}{7}\times0.2^{7}\times0.8^{2}=2.95..\times10^{-4}$이고 마지막 두 항은 이 값보다도 작으므로 최종 결정 오류가 발생할 확률은 $\displaystyle 0.019\cdots+3\times(3\times10^{-4})<0.020\cdots$ 보다 작다.따라서 (1)에서 구한 값 0.028 보다 작아지는 $\displaystyle m$의 최솟값은 $\displaystyle m=9$ 이다.