자연계열 2번

(1) $\displaystyle \frac{dy_{2}}{dt}=v_{2}$ 이므로 $\displaystyle y_{2}(6)$는 다음과 같이 $\displaystyle v_{2}(t)$를 적분하여 구할 수 있다.$\displaystyle y_{2}(6)=y_{2}(0)+\int_{0}^{6}v_{2}(t)dt=10+\int_{0}^{6}\left(20t-\frac{5}{2}t^{2}\right)dt$$\displaystyle =10+\Biggl[10t^{2}-\frac{5}{6}t^{3}\Biggr]_{0}^{6}=10+360-180=190\ \mathrm{m}$

(2) 마찬가지로 $\displaystyle \frac{dy_{1}}{dt}=v_{1}$ 이므로 $\displaystyle y_{1}(12)$는 다음과 같이 $\displaystyle v_{1}(t)$를 적분하여 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned} y_{1}(12) &=y_{1}(0)+\int_{0}^{12}v_{1}(t)\,dt=\int_{0}^{6}\left(20t-\frac{5}{2}t^{2}\right)dt+\int_{6}^{9}(90-10t)dt+\int_{9}^{12}\left\{-10+\frac{10}{27}(12-t)^{3}\right\}dt \\ &=\Biggl[10t^{2}-\frac{5}{6}t^{3}\Biggr]_{0}^{6}+\Biggl[90t-5t^{2}\Biggr]_{6}^{9}+\Biggl[-10t-\frac{5}{54}(12-t)^{4}\Biggr]_{9}^{12} \\ &=(360-180)+\{(810-405)-(540-180)\}+\left\{(-120-0)-\left(-90-\frac{15}{2}\right)\right\}=\frac{405}{2}\ \mathrm{m} \end{aligned}$

(3) $\displaystyle 12\le t\le t_{2}$에서 $\displaystyle v_{1}(t)=-10$ 이고 문항 (2)에서 $\displaystyle y_{1}(12)=\frac{405}{2}$이므로 $\displaystyle y_{1}(t_{2})=0$인 시간 $\displaystyle t_{2}$는$\displaystyle 0=y_{1}(t_{2})=y_{1}(12)+\int_{12}^{t_{2}}v_{1}(t)\,dt=\frac{405}{2}-10(t_{2}-12)$ 로부터 $\displaystyle t_{2}=12+\frac{405}{20}=\frac{129}{4}$ 이다.문항 (1)에서 $\displaystyle y_{2}(6)=190$ 이고 주어진 조건에 의해 $\displaystyle y_{2}(t_{2})=910$ 이므로$\displaystyle \begin{aligned} 910=y_{2}(t_{2}) &=y_{2}(6)+\int_{6}^{t_{2}}v_{2}(t)\,dt=y_{2}(6)+\int_{6}^{t_{1}}v_{2}(t)\,dt+\int_{t_{1}}^{t_{2}}v_{2}(t)\,dt \\ &=190+\int_{6}^{t_{1}}30\,dt+\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{30}{t_{2}-t_{1}}(t_{2}-t)\,dt \\ &=190+30(t_{1}-6)+\Biggl[-\frac{15}{t_{2}-t_{1}}(t_{2}-t)^{2}\Biggr]_{t_{1}}^{t_{2}}=190+30(t_{1}-6)+\frac{15}{t_{2}-t_{1}}(t_{2}-t_{1})^{2} \\ &=10+15t_{1}+15t_{2} \end{aligned}$로부터 $\displaystyle t_{1}=\frac{900}{15}-t_{2}=60-\frac{129}{4}=\frac{111}{4}$ 이다.