자연계열 3번

(1) 학교 버스는 8시와 9시 사이에 도착하므로, $\displaystyle n=1$일 때 홍익이가 $\displaystyle \frac{1}{n}=1$시간보다 더 기다리는 사건 $\displaystyle A_{1}$이 일어날 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{1})=0$이다. $\displaystyle n=2$일 때 첫날, 둘째날 각각 홍익이가 $\displaystyle \frac{1}{n}=\frac{1}{2}$시간보다 더 기다리는 사건의 확률은 각각 $\displaystyle \frac{1}{2}$이고, 두 사건은 서로 독립이므로 $\displaystyle A_{2}$가 일어날 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$이다.

(2) (1)에서와 같이 생각한다. 임의의 등교일에 홍익이가 $\displaystyle \frac{1}{n}$시간보다 긴 시간 동안 버스를 기다리는 사건의 확률은 $\displaystyle 1-\frac{1}{n}$이고, 각각의 등교일에 홍익이가 $\displaystyle \frac{1}{n}$시간보다 긴 시간 동안 버스를 기다리는 사건은 서로 독립이다. 따라서, 독립시행의 확률에 따라 구하는 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{n})=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}$이다.

(3) 정의역이 $\displaystyle \{x|x>1\}$인 함수 $\displaystyle f(x)=\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x}$에 대하여 $\displaystyle \ln f(x)=x\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)$이다. 따라서, 함수 $\displaystyle \ln f(x)$을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle \frac{d}{dx}\ln f(x)=\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+x\cdot\frac{x}{x-1}\cdot\frac{1}{x^{2}}=\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x-1}$ 을 얻는다.

(4) 모든 실수 $\displaystyle x>1$에 대하여 $\displaystyle \frac{x}{x-1}>1$을 만족하므로, 제시문 (나)의 (c)를 활용하면,$\displaystyle \ln\left(\frac{x}{x-1}\right)<\frac{x}{x-1}-1=\frac{1}{x-1}$ 이다.위의 부등식과 문항 (3)의 결과로부터$\displaystyle \frac{d}{dx}\ln f(x)=\ln\left(\frac{x-1}{x}\right)+\frac{1}{x-1}=-\ln\left(\frac{x}{x-1}\right)+\frac{1}{x-1}>0$이다.즉, 함수 $\displaystyle \ln f(x)$은 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 증가하는 함수이다. 따라서, 제시문 (나)의 로그함수의 성질 (b)를 활용하여 함수 $\displaystyle f(x)$도 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 증가하는 함수임을 알 수 있다.문항 (1)의 결과로부터 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{1})=0$, $\displaystyle \mathrm{P}(A_{2})=\frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{1})<\mathrm{P}(A_{2})$이다. 또한, 1보다 큰 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{n})$은 함숫값 $\displaystyle f(n)$과 같고, 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 증가하는 함수이므로, $\displaystyle \mathrm{P}(A_{n+1})>\mathrm{P}(A_{n})$이다. 따라서, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{n+1})>\mathrm{P}(A_{n})$이다.

(5) 사건 $\displaystyle B_{n}$은 사건 $\displaystyle A_{n}$의 여사건이므로, $\displaystyle \mathrm{P}(B_{n})=1-\mathrm{P}(A_{n})$이다. 따라서, $\displaystyle \mathrm{P}(A_{n})<\frac{1}{2}$이면 $\displaystyle \mathrm{P}(B_{n})>\frac{1}{2}$이므로, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{n})<\frac{1}{2}$임을 보이면 충분하다.Comment. $\displaystyle A_n$의 여사건은 어느 날의 기다리는 시간이 $\displaystyle \frac1n$시간 이하인 사건이다. $\displaystyle B_n$과는 등호에서 차이가 있지만, 그 경우의 확률이 $\displaystyle 0$이므로 $\displaystyle \mathrm P(B_n)=1-\mathrm P(A_n)$은 성립한다.

수열 $\displaystyle \{\mathrm{P}(A_{n})\}$의 극한값은$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathrm{P}(A_{n})=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\lim_{x\to0+}(1-x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0-}(1+x)^{-\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0}\frac{1}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{e}$이다.만약 어떤 자연수 $\displaystyle N$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{N})\ge\frac{1}{2}$이라면, 문항 (4)의 결과에 의하여 $\displaystyle \frac{1}{2}\le\mathrm{P}(A_{N})<\mathrm{P}(A_{N+1})<\mathrm{P}(A_{N+2})<\cdots$이므로, 수열의 극한의 대소관계에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\mathrm{P}(A_{n})=\frac{1}{e}\ge\frac{1}{2}$이다. 이는 제시문 (나)의 (a)에 모순이므로, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A_{n})<\frac{1}{2}$이다.