자연계열 1번

(1) 트램 노선의 중심의 위치벡터는 $\displaystyle \vec{c}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{x_{1}}+\overrightarrow{x_{2}}+\overrightarrow{x_{3}}+\overrightarrow{x_{4}}\right)=(3,2)$ 이다.노선의 중심으로부터 각 건물까지의 거리는 각각 $\displaystyle \left|\overrightarrow{x_{1}}-\vec{c}\right|=|(1,2)|=\sqrt{5}$, $\displaystyle \left|\overrightarrow{x_{2}}-\vec{c}\right|=|(2,-2)|=2\sqrt{2}$, $\displaystyle \left|\overrightarrow{x_{3}}-\vec{c}\right|=|(-1,1)|=\sqrt{2}$, $\displaystyle \left|\overrightarrow{x_{4}}-\vec{c}\right|=|(-2,-1)|=\sqrt{5}$ 이다.따라서 각 건물로부터 트램 노선까지의 최단 거리는 각각 $\displaystyle d_{1}=\left|\sqrt{5}-r\right|$, $\displaystyle d_{2}=\left|2\sqrt{2}-r\right|$, $\displaystyle d_{3}=\left|\sqrt{2}-r\right|$, $\displaystyle d_{4}=\left|\sqrt{5}-r\right|$ 이다. 최단 거리의 제곱의 합 $\displaystyle S_{4}=\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)$는$\displaystyle \begin{aligned} S_{4} &=(\sqrt{5}-r)^{2}+(2\sqrt{2}-r)^{2}+(\sqrt{2}-r)^{2}+(\sqrt{5}-r)^{2} \\ &=4r^{2}-(6\sqrt{2}+4\sqrt{5})r+20 \end{aligned}$이다.

$\displaystyle S_{4}$는 $\displaystyle r$에 대한 이차함수이다. 그래프가 아래로 볼록인 포물선이므로 $\displaystyle \frac{d}{dr}S_{4}=0$ 인 $\displaystyle r=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{4}$ 에서 최소이다.(또는, $\displaystyle S_{4}=4\left(r-\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{4}\right)^{2}+\frac{21-6\sqrt{10}}{2}$와 같이 정리하여 최소가 되는 $\displaystyle r$을 구한다.)

(2) 트램 노선의 중심으로부터 가장 가까운 건물과 먼 건물은 각각 와우관, 공학관이며, 중심으로부터의 거리는 각각 $\displaystyle \sqrt{2}$, $\displaystyle 2\sqrt{2}$ 이다. 이 두 거리의 평균인 $\displaystyle r=\frac{3}{2}\sqrt{2}$ 을 기준으로 $\displaystyle r\le\frac{3}{2}\sqrt{2}$인 경우, (1)에서 구한 트램 노선으로부터 각 건물까지의 거리 $\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3}$ 중 $\displaystyle d_{2}=\left|2\sqrt{2}-r\right|$가 최대이다. 즉, 이 경우 $\displaystyle M_{4}=d_{2}=\left|2\sqrt{2}-r\right|=2\sqrt{2}-r$이다. $\displaystyle r\ge\frac{3}{2}\sqrt{2}$인 경우, $\displaystyle d_{3}=\left|\sqrt{2}-r\right|$가 최대가 된다.즉, 이 경우 $\displaystyle M_{4}=d_{3}=\left|\sqrt{2}-r\right|=r-\sqrt{2}$이다.그래프를 그려보면 $\displaystyle r=\frac{3}{2}\sqrt{2}$ 는 에서 최솟값을 가진다.Correction. ‘는 에서’는 ‘에서’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(3) (1)에서와 같이 생각한다.각 건물의 위치 $\displaystyle \overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{x_{2}},\overrightarrow{x_{3}},\ldots,\overrightarrow{x_{n}}$ 로부터 트램노선의 중심 $\displaystyle \vec{c}$ 까지의 거리는 $\displaystyle \left|\overrightarrow{x_{i}}-\vec{c}\right|$이고,각 건물에서 노선까지의 최단 거리는 $\displaystyle d_{i}=\left|\left|\overrightarrow{x_{i}}-\vec{c}\right|-r\right|$이다. $\displaystyle (i=1,2,\cdots,n)$최단 거리의 제곱의 합은$\displaystyle S_{n}=\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(\left|\overrightarrow{x_{i}}-\vec{c}\right|-r\right)^{2}=nr^{2}-2r\sum_{i=1}^{n}\left|\overrightarrow{x_{i}}-\vec{c}\right|+\sum_{i=1}^{n}\left|\overrightarrow{x_{i}}-\vec{c}\right|^{2}$이다.

$\displaystyle S_{n}$는 $\displaystyle r$에 대한 이차함수이다. 그래프가 아래로 볼록인 포물선이므로 $\displaystyle \frac{d}{dr}S_{n}=0$인 $\displaystyle r=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left|\overrightarrow{x_{i}}-\vec{c}\right|$ 에서 최소이다.(또는, $\displaystyle S_{n}=n\left(r-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left|\overrightarrow{x_{i}}-\vec{c}\right|\right)^{2}+\sum_{i=1}^{n}\left|\overrightarrow{x_{i}}-\vec{c}\right|^{2}-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}\left|\overrightarrow{x_{i}}-\vec{c}\right|\right)^{2}$와 같이 정리하여 최소가 되는 $\displaystyle r$을 구한다.)