자연계열 2번

[논제 2] (15점) 주어진 일차변환 $\displaystyle f$를 나타내는 행렬은 $\displaystyle \begin{pmatrix}a&1\\1&b\end{pmatrix}$이다. $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&1\\1&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$에서(1) $\displaystyle ab\ne1$일 때, $\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&1\\1&b\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\frac1{ab-1}\begin{pmatrix}b&-1\\-1&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\frac1{ab-1}\begin{pmatrix}bx^{\prime}-y^{\prime}\\-x^{\prime}+ay^{\prime}\end{pmatrix}$이다. 이것을 $\displaystyle x^2+y^2=1$에 대입하여 정리하면 변환된 도형의 방정식은$\displaystyle (b^2+1)x^2-2(a+b)xy+(a^2+1)y^2=(ab-1)^2$ (단, $\displaystyle ab\ne1$).(2) $\displaystyle ab=1$일 때, $\displaystyle a,b$는 음이 아닌 정수이므로 $\displaystyle a=b=1$이다. 따라서 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y\\x+y\end{pmatrix}$으로부터 $\displaystyle x^{\prime}=y^{\prime}$이다. 그런데 $\displaystyle x^2+y^2=1$이면 [논제 1]의 결과로부터 $\displaystyle -\sqrt2\le x^{\prime}=x+y\le\sqrt2$이다. 따라서 변환된 도형의 방정식은$\displaystyle y=x\quad(-\sqrt2\le x\le\sqrt2)$.