자연계열 3번

[논제 3] (25점) 점 $\displaystyle P$의 좌표를 $\displaystyle P(a,b)$라 두자 ($\displaystyle b>0$이라 가정할 수 있다). 미분하여 $\displaystyle P$에서의 접선의 기울기를 구하면 $\displaystyle -\frac a{3b}$이다. 따라서 접선의 방정식은 $\displaystyle y-b=-\frac a{3b}(x-a)$가 된다.(별해) 점 $\displaystyle P$의 좌표를 $\displaystyle P(a,b)$라 두면, 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{ax}3+by=1$이다.이 직선이 $\displaystyle (2\sqrt3,0)$을 지나므로 이 점을 접선 식에 대입하고 $\displaystyle \frac{a^2}3+b^2=1$을 이용하면 $\displaystyle a=b=\frac{\sqrt3}2$를 얻는다. 점 $\displaystyle A,B$를 각각 $\displaystyle A(\frac{\sqrt3}2,0)$, $\displaystyle B(2\sqrt3,0)$이라 두면, 구하는 면적 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\triangle PAB$의 면적 $\displaystyle -\int_{\frac{\sqrt3}2}^{\sqrt3}\sqrt{1-\frac{x^2}3}\,dx$여기서 $\displaystyle \triangle PAB$의 면적 $\displaystyle =\frac12\times\frac{3\sqrt3}2\times\frac{\sqrt3}2=\frac98$이다. 한편, 정적분은 $\displaystyle x=\sqrt3\sin t$로 치환하면$\displaystyle \int_{\frac{\sqrt3}2}^{\sqrt3}\sqrt{1-\frac{x^2}3}\,dx=\sqrt3\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi2}\cos^2t\,dt=\frac{\sqrt3}2\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi2}(1+\cos2t)\,dt=\frac{\sqrt3\pi}6-\frac38$.따라서 구하는 면적 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S=\frac98-(\frac{\sqrt3\pi}6-\frac38)=\frac32-\frac{\sqrt3\pi}6$이다.