수학과학우수자 3번

[논제 3] (20점) 코사인법칙을 이용하여 $\displaystyle \overline{AB}$의 길이를 $\displaystyle \theta$의 함수로 나타내면, $\displaystyle f(\theta)=\sqrt{5-4\cos\theta}$이다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=\frac{2\sin\theta}{\sqrt{5-4\cos\theta}}$이 된다. $\displaystyle \overline{AB}$의 길이가 가장 빨리 증가하는 순간이란, $\displaystyle f^{\prime}(\theta)$가 최댓값이 되는 순간이므로, 구간 $\displaystyle 0\le\theta\le\pi$에서 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)$의 최댓값을 구해보자.$\displaystyle \begin{aligned} f^{\prime\prime}(\theta)&=2\times\frac{\cos\theta\sqrt{5-4\cos\theta}-\sin\theta\frac{2\sin\theta}{\sqrt{5-4\cos\theta}}}{5-4\cos\theta}\\ &=2\times\frac{\cos\theta(5-4\cos\theta)-2\sin^2\theta}{(5-4\cos\theta)^{3/2}}=2\times\frac{-(2\cos\theta-1)(\cos\theta-2)}{(5-4\cos\theta)^{3/2}} \end{aligned}$,이고 $\displaystyle \cos\theta=\frac12$, 즉, $\displaystyle \theta=\frac\pi3$일 때 $\displaystyle f^{\prime\prime}(\theta)=0$이 된다. 또한, $\displaystyle 0\le\theta<\frac\pi3$일 때, $\displaystyle f^{\prime\prime}(\theta)>0$이고, $\displaystyle \frac\pi3<\theta\le\pi$일 때, $\displaystyle f^{\prime\prime}(\theta)<0$이므로, $\displaystyle \theta=\frac\pi3$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(\theta)$가 최댓값을 갖는다. 따라서 두 시계바늘의 회전 중심을 $\displaystyle O$라 할 때, 삼각형 $\displaystyle OAB$는 세 변의 길이가 각각 1, 2, $\displaystyle \sqrt3$인 직각삼각형이 된다. 즉, $\displaystyle \overline{AB}=\sqrt3$이다.