수학과학우수자 1번

[논제 1] (20점) 수학적 귀납법을 이용하자. 먼저, $\displaystyle n=1$일 때,$\displaystyle \begin{aligned} S_1=\frac1{a_1}&=\frac1{a_2-1}\quad(\because a_2=1+a_1)\\ &=\frac{2(a_2-1)-1}{a_2-1}\quad(\because a_2=2)\\ &=2-\frac1{a_2-1} \end{aligned}$.이제, $\displaystyle S_{n-1}=2-\frac1{a_n-1}$이라 가정하자. 그러면,$\displaystyle \begin{aligned} S_n=S_{n-1}+\frac1{a_n}&=2-\frac1{a_n-1}+\frac1{a_n}\\ &=2-\frac{a_n-a_n+1}{(a_n-1)a_n}=2-\frac1{(a_n-1)a_n} \end{aligned}$이 된다. 한편, $\displaystyle a_{n+1}=1+(a_1a_2\cdots a_{n-1})a_n=1+(a_n-1)a_n$이므로 $\displaystyle a_{n+1}-1=(a_n-1)a_n$이다. 그러므로 등식 $\displaystyle S_n=2-\frac1{a_{n+1}-1}$이 성립한다.