수리논술, 이게 다다.

수학과학우수자 1번

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인하대 2013학년도 모의 수학과학우수자 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2013mo/mathscience_1

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(가) 자연수 n\displaystyle n에 대한 명제 P(n)\displaystyle P(n)이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.(i) n=1\displaystyle n=1일 때 명제 P(n)\displaystyle P(n)이 성립한다.(ii) n=k\displaystyle n=k일 때 명제 P(n)\displaystyle P(n)이 성립한다고 가정하면, n=k+1\displaystyle n=k+1일 때에도 명제 P(n)\displaystyle P(n)이 성립한다.이와 같은 증명법을 수학적 귀납법이라 한다.

(나) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}에서 n\displaystyle n이 한없이 커짐에 따라, 일반항 an\displaystyle a_n의 값이 한없이 커지면 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}은 양의 무한대로 발산한다고, 이것을 기호 lim⁡n→∞an=∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty로 나타낸다. 또한 일반항 an\displaystyle a_n의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}은 음의 무한대로 발산한다고, 이것을 기호 lim⁡n→∞an=−∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty로 나타낸다.

다음과 같이 정의된 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}이 있다:a1=1, an=1+a1a2⋯an−1(n≥2)\displaystyle a_1=1,\ a_n=1+a_1a_2\cdots a_{n-1}\quad(n\ge2)이때, Sn=1a1+1a2+⋯+1an\displaystyle S_n=\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}이라 하자.

[논제 1] 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 Sn=2−1an+1−1\displaystyle S_n=2-\frac1{a_{n+1}-1}임을 보여라. (20점)

해설강의 준비중

인하대 2013학년도 모의 수학과학우수자 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2013mo/mathscience_1

[논제 1] (20점) 수학적 귀납법을 이용하자. 먼저, n=1\displaystyle n=1일 때,S1=1a1=1a2−1(∵a2=1+a1)=2(a2−1)−1a2−1(∵a2=2)=2−1a2−1\displaystyle \begin{aligned} S_1=\frac1{a_1}&=\frac1{a_2-1}\quad(\because a_2=1+a_1)\\ &=\frac{2(a_2-1)-1}{a_2-1}\quad(\because a_2=2)\\ &=2-\frac1{a_2-1} \end{aligned}.이제, Sn−1=2−1an−1\displaystyle S_{n-1}=2-\frac1{a_n-1}이라 가정하자. 그러면,Sn=Sn−1+1an=2−1an−1+1an=2−an−an+1(an−1)an=2−1(an−1)an\displaystyle \begin{aligned} S_n=S_{n-1}+\frac1{a_n}&=2-\frac1{a_n-1}+\frac1{a_n}\\ &=2-\frac{a_n-a_n+1}{(a_n-1)a_n}=2-\frac1{(a_n-1)a_n} \end{aligned}이 된다. 한편, an+1=1+(a1a2⋯an−1)an=1+(an−1)an\displaystyle a_{n+1}=1+(a_1a_2\cdots a_{n-1})a_n=1+(a_n-1)a_n이므로 an+1−1=(an−1)an\displaystyle a_{n+1}-1=(a_n-1)a_n이다. 그러므로 등식 Sn=2−1an+1−1\displaystyle S_n=2-\frac1{a_{n+1}-1}이 성립한다.

평가 기준
제시문에 주어진 개념을 정확하게 이해하고, 문제 해결에 활용할 수 있는 능력
수열이 양의 무한대로 발산한다는 것을 논리적으로 추론하는 능력
삼각함수와 무리함수로 이루어진 분수함수의 미분법을 활용하여 최댓값을 구하는 계산 능력
논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하고 제시하는 능력

첨삭 사례

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