인하대 2013학년도 모의 수학과학우수자 2번 해설

(가) 자연수 $\displaystyle n$ 에 대한 명제 $\displaystyle P(n)$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.(i) $\displaystyle n=1$ 일 때 명제 $\displaystyle P(n)$ 이 성립한다.(ii) $\displaystyle n=k$ 일 때 명제 $\displaystyle P(n)$ 이 성립한다고 가정하면, $\displaystyle n=k+1$ 일 때에도 명제 $\displaystyle P(n)$ 이 성립한다.이와 같은 증명법을 수학적 귀납법이라 한다.

(나) 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에서 $\displaystyle n$ 이 한없이 커짐에 따라, 일반항 $\displaystyle a_n$ 의 값이 한없이 커지면 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 양의 무한대로 발산한다고, 이것을 기호 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ 로 나타낸다. 또한 일반항 $\displaystyle a_n$ 의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 음의 무한대로 발산한다고, 이것을 기호 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ 로 나타낸다.

다음과 같이 정의된 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 이 있다: $\displaystyle a_1=1,\ a_n=1+a_1a_2\cdots a_{n-1}\quad(n\ge2)$ 이때, $\displaystyle S_n=\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_n}$ 이라 하자.

[논제 2] $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=2$ 임을 보여라. (20점)

인하대 2013학년도 모의 수학과학우수자 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2013mo/mathscience_2

[논제 2] (20점) $\displaystyle \lim_{n\to0}a_n=\infty$ 임을 보이면 [논제 1]에서 주어진 등식 $\displaystyle S_n=2-\frac1{a_{n+1}-1}$ 으로부터 $\displaystyle \lim_{n\to0}S_n=2$ 임은 자명하다. 이제, 모든 $\displaystyle a_n$ 이 자연수임은 자명하고, $\displaystyle a_n=1+a_1a_2\cdots a_{n-1}$ 이므로 $\displaystyle a_n>a_{n-1}$ 이다. 즉, $\displaystyle a_n-a_{n-1}\ge1$ 으로부터Correction. 수열의 발산을 다루는 이 풀이에서 극한의 아래 첨자는 $\displaystyle n\to0$ 이 아니라 $\displaystyle n\to\infty$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \begin{aligned}a_2-a_1&\ge1\\a_3-a_2&\ge1\\&\vdots\\a_n-a_{n-1}&\ge1\end{aligned}$ 이다. 위의 부등식을 변변 더하면 $\displaystyle a_n-a_1\ge n-1$ 을 얻고, $\displaystyle a_1=1$ 이므로, 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n\ge n$ 이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to0}a_n=\infty$ 이다.

평가 기준
제시문에 주어진 개념을 정확하게 이해하고, 문제 해결에 활용할 수 있는 능력
수열이 양의 무한대로 발산한다는 것을 논리적으로 추론하는 능력
삼각함수와 무리함수로 이루어진 분수함수의 미분법을 활용하여 최댓값을 구하는 계산 능력
논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하고 제시하는 능력

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수학과학우수자 2번

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