수학과학우수자 2번

[논제 2] (20점) $\displaystyle \lim_{n\to0}a_n=\infty$임을 보이면 [논제 1]에서 주어진 등식 $\displaystyle S_n=2-\frac1{a_{n+1}-1}$으로부터 $\displaystyle \lim_{n\to0}S_n=2$임은 자명하다. 이제, 모든 $\displaystyle a_n$이 자연수임은 자명하고, $\displaystyle a_n=1+a_1a_2\cdots a_{n-1}$이므로 $\displaystyle a_n>a_{n-1}$이다. 즉, $\displaystyle a_n-a_{n-1}\ge1$으로부터Correction. 수열의 발산을 다루는 이 풀이에서 극한의 아래 첨자는 $\displaystyle n\to0$이 아니라 $\displaystyle n\to\infty$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}a_2-a_1&\ge1\\a_3-a_2&\ge1\\&\vdots\\a_n-a_{n-1}&\ge1\end{aligned}$이다. 위의 부등식을 변변 더하면 $\displaystyle a_n-a_1\ge n-1$을 얻고, $\displaystyle a_1=1$이므로, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n\ge n$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to0}a_n=\infty$이다.