자연계열 1번

인하대 2014학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2014mo/jayeon_1

(가) 일반적으로 좌표평면 위의 점 $\displaystyle P(x,y)$ 를 식 $\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}=ax+by\\y^{\prime}=cx+dy\end{cases}\qquad(a,b,c,d\text{는 상수})$ 에 의하여 점 $\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$ 으로 옮기는 변환을 일차변환이라고 한다. 이 때 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 를 이 일차변환의 행렬이라고 한다. 원점을 닮음의 중심으로 하는 닮음비가 $\displaystyle k$ ( $\displaystyle k\ne0$ )인 닮음변환, 원점을 중심으로 각 $\displaystyle \theta$ 만큼 회전하는 회전변환, 원점을 지나는 직선에 대한 대칭변환 등은 일차변환이다.

(※) 두 수열 $\displaystyle \{x_n\}$ 와 $\displaystyle \{y_n\}$ 이 다음의 식을 만족한다고 하자. $\displaystyle x_1=1,\ y_1=2,\quad\begin{cases}x_{n+1}=\dfrac{\sqrt3}2x_n-\dfrac12y_n\\[5pt]y_{n+1}=\dfrac12x_n+\dfrac{\sqrt3}2y_n\end{cases}$

(1-1) 평면 위의 점 $\displaystyle (x_n,y_n)$ 을 $\displaystyle (x_{n+1},y_{n+1})$ 로 옮기는 변환에 대응하는 행렬을 구하시오. (5점)

(1-2) $\displaystyle x_{2014}+y_{2014}$ 의 값을 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

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5 · (1-1)

[문제 1] (1-1) (5점) $\displaystyle A=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt3}2&-\dfrac12\\[5pt]\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}2\end{pmatrix}$

15 · (1-2)

[문제 1] (1-2) (15점) $\displaystyle P_n=\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix},\ A=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt3}2&-\dfrac12\\[5pt]\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}2\end{pmatrix}$ 라 두면, $\displaystyle P_{n+1}=AP_n=A^2P_{n-1}=\cdots=A^nP_1$ 이므로 $\displaystyle P_{2014}=A^{2013}P_1$ 이다. 여기서 행렬 $\displaystyle A$ 는 $\displaystyle \frac\pi6$ 만큼의 반시계방향으로 회전변환이므로 $\displaystyle A^{12}=E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ 이고, $\displaystyle A^{2013}=A^9=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ 이다. 따라서 $\displaystyle P_{2014}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$ 이고, $\displaystyle x_{2014}+y_{2014}=1$ 이다.

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