자연계열 1번

[문제 1] (1-1) (5점)$\displaystyle A=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt3}2&-\dfrac12\\[5pt]\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}2\end{pmatrix}$

[문제 1] (1-2) (15점)$\displaystyle P_n=\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix},\ A=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt3}2&-\dfrac12\\[5pt]\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}2\end{pmatrix}$라 두면, $\displaystyle P_{n+1}=AP_n=A^2P_{n-1}=\cdots=A^nP_1$이므로 $\displaystyle P_{2014}=A^{2013}P_1$이다. 여기서 행렬 $\displaystyle A$는 $\displaystyle \frac\pi6$만큼의 반시계방향으로 회전변환이므로 $\displaystyle A^{12}=E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$이고, $\displaystyle A^{2013}=A^9=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$이다. 따라서 $\displaystyle P_{2014}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$이고, $\displaystyle x_{2014}+y_{2014}=1$이다.