수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

수학과학우수자 1번

인하대 2014학년도 모의 수학과학우수자 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2014mo/mathscience_1

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문제

(가) 서로 다른 n\displaystyle n개 중에서 r\displaystyle r개를 택하여 한 줄로 나열하는 것을 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r개를 택하는 순열이라 한다. 이 순열의 수를 기호로 nPr\displaystyle {}_{n}\mathrm P_r와 같이 나타내고 다음과 같이 계산한다.nPr=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1)(0<r≤n)\displaystyle {}_{n}\mathrm P_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)\quad(0<r\le n)

(나) 서로 다른 n\displaystyle n개 중에서 순서를 생각하지 않고 r\displaystyle r개를 택하는 것을 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r개를 택하는 조합이라 한다. 이 조합의 수를 기호로 nCr\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r와 같이 나타내고 다음과 같이 계산한다.nCr=nPrr!(0<r≤n)\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r=\frac{{}_{n}\mathrm P_r}{r!}\quad(0<r\le n)여기서 r!\displaystyle r!는 1에서 r\displaystyle r까지의 모든 자연수의 곱이다.

(※) 6명의 사람이 있다. 이 사람들을 분할하는 여러 가지 상황에 대하여 그 분할 방법의 수를 생각해 보자.

(1-1) 6명의 사람들을 세 개의 조로 나누는 방법의 수를 구하시오. 단, 각 조에는 적어도 한 명이 포함되어 있다. (10점)

(1-2) 6명의 사람들을 세 개의 방 A, B, C에 빈 방이 없게 배치하는 방법의 수를 구하려 한다. “각 방에 적어도 한 명씩은 들어가야 하므로 6명 중 3명을 뽑아 각 방에 배치하는 방법의 수는 6P3\displaystyle {}_{6}\mathrm P_3이고 나머지 3명은 각 방에 임의로 배치되어도 되므로 3×3×3\displaystyle 3\times3\times3를 곱해 주면, 총 방법의 수는 6P3×33=3240\displaystyle {}_{6}\mathrm P_3\times3^3=3240이다.” 이 풀이가 옳은지 틀린지를 결정하고, 옳지 않다면 올바른 풀이를 제시하시오. (10점)

해설강의 준비중

인하대 2014학년도 모의 수학과학우수자 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2014mo/mathscience_1

10 · (1-1)

[문제 1] (1-1) (10점)세 모둠에 속한 사람들 수는 (1, 1, 4), (1, 2, 3), (2, 2, 2) 세 가지가 있다. 각각의 경우에 대해 분할 방법의 수를 구하면 다음과 같다.(1, 1, 4)인 경우: 6C1×5C1×12!=15\displaystyle {}_{6}\mathrm C_1\times{}_{5}\mathrm C_1\times\frac1{2!}=15(1, 2, 3)인 경우: 6C1×5C2=60\displaystyle {}_{6}\mathrm C_1\times{}_{5}\mathrm C_2=60(2, 2, 2)인 경우: 6C2×4C2×13!=15\displaystyle {}_{6}\mathrm C_2\times{}_{4}\mathrm C_2\times\frac1{3!}=15이것들을 모두 더하면 총 방법의 수는 90이다.

10 · (1-2)

[문제 1] (1-2) (10점)6P3×33=3240\displaystyle {}_{6}\mathrm P_3\times3^3=3240는 먼저 각 방에 한 명씩 배치하고 나서 두 번째 배치에서 나머지 3명을 배치하는 방법의 수를 센 것으로, 이것은 각 방에 배치된 인원이 같더라도 배치된 순서가 다르면 다른 배치방법인 것으로 인정해 가지수를 센 것이므로 옳지 않다. 올바른 풀이는 다음과 같다: (1-1)에서 각각의 경우에 대해 3개의 방에 배치하는 방법인 3!=6\displaystyle 3!=6을 곱해 주면 된다. 즉, 90×6=540\displaystyle 90\times6=540이 올바른 답이다.

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