수학과학우수자 2번

[문제 2] (2-1) (15점)(i) 주어진 방정식이 하나의 양근을 가지는 경우는 두 곡선 $\displaystyle y=e^x$와 $\displaystyle y=x^r$의 그래프가 접할 때이다. 접점을 $\displaystyle (t,e^t)=(t,t^r)$이라 두자. 접점에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle e^t=rt^{r-1}$이므로 $\displaystyle e^t=t^r=rt^{r-1}$이고, $\displaystyle t=r$이다. 또, $\displaystyle e^r=r^r$로부터 $\displaystyle r=e$를 얻는다.

(ii) 만약 $\displaystyle r<e$이면 곡선 $\displaystyle y=x^r$의 그래프는 $\displaystyle y=x^e$의 그래프 아래에 있으므로 곡선 $\displaystyle y=x^r$과 곡선 $\displaystyle y=e^x$는 만나지 않는다. 즉, 방정식 $\displaystyle e^x=x^r$ ($\displaystyle x>0$)의 해는 없다.

(iii) 만약 $\displaystyle r>e$이면 곡선 $\displaystyle y=x^r$의 그래프는 $\displaystyle y=x^e$의 그래프 위에 있으므로 곡선 $\displaystyle y=x^r$과 곡선 $\displaystyle y=e^x$는 $\displaystyle x<e$ 범위에서 한번 만난 후, 곡선 $\displaystyle y=e^x$가 $\displaystyle y=x^r$보다 빨리 증가함에 유의하면 $\displaystyle x>e$ 범위에서 다시 한 번 만나게 됨을 알 수 있다. 즉, 방정식 $\displaystyle e^x=x^r$ ($\displaystyle x>0$)의 해는 두 개임을 알 수 있다.Comment. 답안의 그래프 비교는 $\displaystyle x>1$에서만 성립하므로, $\displaystyle 0<x\le1$에서 교점이 없다는 확인이 필요하다. $\displaystyle r>0$이므로 이 범위에서는 $\displaystyle x^r\le1<e^x$이다. 따라서 $\displaystyle x>1$에서 $\displaystyle x^r$과 $\displaystyle x^e$를 비교하면 답안의 결론을 얻는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.