수학과학우수자 3번

[문제 3] (3-1) (7점)$\displaystyle \angle BDC=\angle BAC=\frac\alpha2,\ \angle DBC=\angle DAC=\frac\alpha2$이므로 삼각형 BCD는 이등변삼각형이다. 따라서 $\displaystyle \overline{BC}=\overline{CD}=s$라 할 때 $\displaystyle \overline{BD}=2s\cos\frac\alpha2$이다. 제시문 (가)의 톨레미의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}=\overline{AC}\cdot\overline{BD}$이고, $\displaystyle \overline{BC}=\overline{CD}=s$이므로 좌변은$\displaystyle \overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}=(\overline{AB}+\overline{AD})\cdot s$이고, 우변은$\displaystyle \overline{AC}\cdot\overline{BD}=\overline{AC}\,2s\cos\frac\alpha2$이다. 따라서 등식 $\displaystyle \overline{AB}+\overline{AD}=2\overline{AC}\cos\frac\alpha2$을 얻는다.

[문제 3] (3-2) (8점)(3-1)의 결과에 의해$\displaystyle \overline{AX}+\overline{AY}=2\overline{AP}\cos\frac\alpha2\quad\text{-------①}$$\displaystyle \overline{AB}+\overline{AC}=2\overline{AS}\cos\frac\alpha2\quad\text{-------②}$이 ②식에서 ①식을 빼주면,$\displaystyle 2(\overline{AS}-\overline{AP})\cos\frac\alpha2=\overline{AB}+\overline{AC}-(\overline{AX}+\overline{AY})=b+c-a\quad\text{-------③}$이다. 한편, 삼각형 ABC의 내접원이 변 AC, AB와 접하는 점을 각각 E, F라 할 때, 등식 $\displaystyle \overline{AE}=\overline{AF}=\frac12(b+c-a)$가 성립하고, $\displaystyle \overline{AE}=\overline{AI}\cos\frac\alpha2$이므로, ③식의 우변은 $\displaystyle 2\overline{AI}\cos\frac\alpha2$와 같다. 따라서 $\displaystyle 2(\overline{AS}-\overline{AP})\cos\frac\alpha2=2\overline{AI}\cos\frac\alpha2$이고, 이것으로부터 등식 $\displaystyle \overline{AP}+\overline{AI}=\overline{AS}$를 얻는다.

[문제 3] (3-3) (10점)$\displaystyle \angle BAC=\theta$인 고정된 삼각형 ABC에 대하여, 점 X, Y가 등식 $\displaystyle \overline{AX}+\overline{AY}=\overline{BC}$를 만족하면서 반직선 $\displaystyle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}$ 위를 움직일 때 점 P는 일정한 점이므로 $\displaystyle \lim_{x\to+0}f(x)=\overline{AP}$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{\overline{AP}-f(x)}x$은 $\displaystyle \frac00$꼴인 부정형이다. 삼각형 APX에서$\displaystyle \{f(x)\}^2=\overline{AP}^2+x^2-2x\overline{AP}\cos\frac\theta2$이므로 주어진 극한은 다음과 같이 $\displaystyle \theta$로 표현된다.$\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{\overline{AP}-f(x)}x=\lim_{x\to+0}\frac{\overline{AP}^2-\{f(x)\}^2}{x(\overline{AP}+f(x))}=\lim_{x\to+0}\frac{2x\overline{AP}\cos\frac\theta2-x^2}{2x\overline{AP}}=\cos\frac\theta2$