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수학과학우수자 3번

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인하대 2014학년도 모의 수학과학우수자 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2014mo/mathscience_3

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문제

(가) 톨레미(영어명 Ptolemy, 원명 프톨레마이오스(Ptolemaios), AD 90-168)는 이집트 알렉산드리아에서 활동한 그리스계 수학자로서, 그는 역사상 가장 위대한 저서 중 하나인 알마게스트(Almagest)의 저자이다. 다음은 유명한 톨레미의 정리이다.원에 내접하는 사각형 ABCD에 대하여서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합은 두 대각선의 길이의 곱과 같다.AB‾⋅CD‾+AD‾⋅BC‾=AC‾⋅BD‾\displaystyle \overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}=\overline{AC}\cdot\overline{BD}

원에 내접하는 사각형 ABCD

(나) 삼각형 ABC에 대하여 BC‾=a, AC‾=b, AB‾=c\displaystyle \overline{BC}=a,\ \overline{AC}=b,\ \overline{AB}=c라 하고, 이 삼각형의 내접원이 변 AC, AB와 접하는 점을 각각 E, F라 할 때, 등식 AE‾=AF‾=12(b+c−a)\displaystyle \overline{AE}=\overline{AF}=\frac12(b+c-a)가 성립함은 쉽게 알 수 있다.

삼각형 ABC의 내접원과 접점 E, F

(다) 삼각형 ABC의 내심 I는 세 내각의 이등분선의 교점이고, 삼각형 ABC의 외심 O는 세 변의 수직이등분선의 교점이다.

(라) 아래 그림과 같이 삼각형 ABC의 내심을 I라 하고 외심을 O라 하자. 그리고 두 점 X, Y는 등식 AX‾+AY‾=BC‾\displaystyle \overline{AX}+\overline{AY}=\overline{BC}를 만족하는 각각 반직선 AC→,AB→\displaystyle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB} 위에 있는 점이라고 하자. 반직선 AI→\displaystyle \overrightarrow{AI}가 삼각형 ABC의 외접원과 만나는 점을 S라 하고, 삼각형 AXY의 외접원이 선분 AS와 만나는 점을 P라 하자.

삼각형 ABC와 AXY의 외접원 및 내심과 외심

(3-1) 제시문 (가)의 그림에서 선분 AC가 ∠BAD\displaystyle \angle BAD의 이등분선이고, ∠BAD=α\displaystyle \angle BAD=\alpha라 할 때, 제시문 (가)에 근거하여 다음 등식이 성립함을 보이시오. (7점)AB‾+AD‾=2AC‾cos⁡(α2)\displaystyle \overline{AB}+\overline{AD}=2\overline{AC}\cos\left(\frac\alpha2\right)

(3-2) 제시문 (라)의 경우에 다음 등식이 성립함을 보이시오. (8점)AI‾+AP‾=AS‾\displaystyle \overline{AI}+\overline{AP}=\overline{AS}

(3-3) 제시문 (라)의 경우에 문제 (3-2)의 결과를 이용하면 OI‾=OP‾\displaystyle \overline{OI}=\overline{OP}임을 알 수 있다. 따라서 점 X, Y가 등식 AX‾+AY‾=BC‾\displaystyle \overline{AX}+\overline{AY}=\overline{BC}를 만족하면서 반직선 AC→,AB→\displaystyle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB} 위를 움직일 때 점 P는 일정한 점이다. ∠BAC=θ\displaystyle \angle BAC=\theta인 삼각형 ABC에 대하여, AX‾\displaystyle \overline{AX}의 길이가 x\displaystyle x일 때 PX‾\displaystyle \overline{PX}의 길이를 f(x)\displaystyle f(x)라고 하자. 이때, 극한lim⁡x→+0AP‾−f(x)x\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{\overline{AP}-f(x)}x의 값을 θ\displaystyle \theta의 식으로 나타내시오. (10점)

해설강의 준비중

인하대 2014학년도 모의 수학과학우수자 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2014mo/mathscience_3

7 · (3-1)

[문제 3] (3-1) (7점)∠BDC=∠BAC=α2, ∠DBC=∠DAC=α2\displaystyle \angle BDC=\angle BAC=\frac\alpha2,\ \angle DBC=\angle DAC=\frac\alpha2이므로 삼각형 BCD는 이등변삼각형이다. 따라서 BC‾=CD‾=s\displaystyle \overline{BC}=\overline{CD}=s라 할 때 BD‾=2scos⁡α2\displaystyle \overline{BD}=2s\cos\frac\alpha2이다. 제시문 (가)의 톨레미의 정리에 의해 AB‾⋅CD‾+AD‾⋅BC‾=AC‾⋅BD‾\displaystyle \overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}=\overline{AC}\cdot\overline{BD}이고, BC‾=CD‾=s\displaystyle \overline{BC}=\overline{CD}=s이므로 좌변은AB‾⋅CD‾+AD‾⋅BC‾=(AB‾+AD‾)⋅s\displaystyle \overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}=(\overline{AB}+\overline{AD})\cdot s이고, 우변은AC‾⋅BD‾=AC‾ 2scos⁡α2\displaystyle \overline{AC}\cdot\overline{BD}=\overline{AC}\,2s\cos\frac\alpha2이다. 따라서 등식 AB‾+AD‾=2AC‾cos⁡α2\displaystyle \overline{AB}+\overline{AD}=2\overline{AC}\cos\frac\alpha2을 얻는다.

8 · (3-2)

[문제 3] (3-2) (8점)(3-1)의 결과에 의해AX‾+AY‾=2AP‾cos⁡α2——-①\displaystyle \overline{AX}+\overline{AY}=2\overline{AP}\cos\frac\alpha2\quad\text{-------①}AB‾+AC‾=2AS‾cos⁡α2——-②\displaystyle \overline{AB}+\overline{AC}=2\overline{AS}\cos\frac\alpha2\quad\text{-------②}이 ②식에서 ①식을 빼주면,2(AS‾−AP‾)cos⁡α2=AB‾+AC‾−(AX‾+AY‾)=b+c−a——-③\displaystyle 2(\overline{AS}-\overline{AP})\cos\frac\alpha2=\overline{AB}+\overline{AC}-(\overline{AX}+\overline{AY})=b+c-a\quad\text{-------③}이다. 한편, 삼각형 ABC의 내접원이 변 AC, AB와 접하는 점을 각각 E, F라 할 때, 등식 AE‾=AF‾=12(b+c−a)\displaystyle \overline{AE}=\overline{AF}=\frac12(b+c-a)가 성립하고, AE‾=AI‾cos⁡α2\displaystyle \overline{AE}=\overline{AI}\cos\frac\alpha2이므로, ③식의 우변은 2AI‾cos⁡α2\displaystyle 2\overline{AI}\cos\frac\alpha2와 같다. 따라서 2(AS‾−AP‾)cos⁡α2=2AI‾cos⁡α2\displaystyle 2(\overline{AS}-\overline{AP})\cos\frac\alpha2=2\overline{AI}\cos\frac\alpha2이고, 이것으로부터 등식 AP‾+AI‾=AS‾\displaystyle \overline{AP}+\overline{AI}=\overline{AS}를 얻는다.

10 · (3-3)

[문제 3] (3-3) (10점)∠BAC=θ\displaystyle \angle BAC=\theta인 고정된 삼각형 ABC에 대하여, 점 X, Y가 등식 AX‾+AY‾=BC‾\displaystyle \overline{AX}+\overline{AY}=\overline{BC}를 만족하면서 반직선 AC→,AB→\displaystyle \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB} 위를 움직일 때 점 P는 일정한 점이므로 lim⁡x→+0f(x)=AP‾\displaystyle \lim_{x\to+0}f(x)=\overline{AP}이다. 따라서 lim⁡x→+0AP‾−f(x)x\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{\overline{AP}-f(x)}x은 00\displaystyle \frac00꼴인 부정형이다. 삼각형 APX에서{f(x)}2=AP‾2+x2−2xAP‾cos⁡θ2\displaystyle \{f(x)\}^2=\overline{AP}^2+x^2-2x\overline{AP}\cos\frac\theta2이므로 주어진 극한은 다음과 같이 θ\displaystyle \theta로 표현된다.lim⁡x→+0AP‾−f(x)x=lim⁡x→+0AP‾2−{f(x)}2x(AP‾+f(x))=lim⁡x→+02xAP‾cos⁡θ2−x22xAP‾=cos⁡θ2\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{\overline{AP}-f(x)}x=\lim_{x\to+0}\frac{\overline{AP}^2-\{f(x)\}^2}{x(\overline{AP}+f(x))}=\lim_{x\to+0}\frac{2x\overline{AP}\cos\frac\theta2-x^2}{2x\overline{AP}}=\cos\frac\theta2

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