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자연계열 1번

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인하대 2014학년도 수시 1차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2014su_1/jayeon_1

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문제

[문제 1] 아래의 제시문을 참고하여 다음 질문에 답하시오. (25점)

(가) 좌표공간 상의 두 점 A(a1,a2,a3)\displaystyle A(a_1,a_2,a_3), B(b1,b2,b3)\displaystyle B(b_1,b_2,b_3)에 대하여 A\displaystyle A를 시점, B\displaystyle B를 종점으로 하는 공간벡터 AB→\displaystyle \overrightarrow{AB}는 AB→=(b1−a1,b2−a2,b3−a3)\displaystyle \overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)와 같이 성분으로 나타낼 수 있다.

(나) 좌표공간 상의 세 점 A(a1,a2,a3)\displaystyle A(a_1,a_2,a_3), B(b1,b2,b3)\displaystyle B(b_1,b_2,b_3), C(c1,c2,c3)\displaystyle C(c_1,c_2,c_3)에 대하여 내적 CA→⋅CB→\displaystyle \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}는∣CA→∣∣CB→∣cos⁡(∠ACB)\displaystyle |\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|\cos(\angle ACB)로 정의되며, 그 값은 (a1−c1)(b1−c1)+(a2−c2)(b2−c2)+(a3−c3)(b3−c3)\displaystyle (a_1-c_1)(b_1-c_1)+(a_2-c_2)(b_2-c_2)+(a_3-c_3)(b_3-c_3)과 같다.

(※) 그림과 같이 OA‾=3\displaystyle \overline{OA}=3, OB‾=2\displaystyle \overline{OB}=2, cos⁡(∠AOB)=63\displaystyle \cos(\angle AOB)=\frac{\sqrt6}3인 두 점 A,B\displaystyle A,B가 각각 xz\displaystyle xz평면과 yz\displaystyle yz평면 위에 있다. (단, O\displaystyle O는 원점이고, 점 A,B\displaystyle A,B의 좌표성분은 모두 0\displaystyle 0 이상이다.)

xz평면 위의 점 A와 yz평면 위의 점 B, 벡터 OA와 OB 및 각 α와 β

(1-1) 직선 OA\displaystyle OA와 x\displaystyle x축이 이루는 각을 α\displaystyle \alpha, 직선 OB\displaystyle OB와 y\displaystyle y축이 이루는 각을 β\displaystyle \beta라고 할 때, α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta의 관계식을 구하시오. (단, 0<α,β<π2\displaystyle 0<\alpha,\beta<\frac\pi2) (10점)

(1-2) 삼각형 OAB\displaystyle OAB의 xy\displaystyle xy평면 위로의 정사영이 직각이등변삼각형일 때, A\displaystyle A의 좌표를 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

인하대 2014학년도 수시 1차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2014su_1/jayeon_1

(1-1)주어진 조건으로부터 두 점 A,B\displaystyle A,B의 좌표를 구하면A(3cos⁡α,0,3sin⁡α),B(0,2cos⁡β,2sin⁡β)\displaystyle A(3\cos\alpha,0,3\sin\alpha),B(0,2\cos\beta,2\sin\beta)이다. 제시문 (나)의 내적의 정의를 이용하면6sin⁡αsin⁡β=OA→⋅OB→=∣OA→∣∣OB→∣cos⁡(∠AOB)=26\displaystyle 6\sin\alpha\sin\beta=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos(\angle AOB)=2\sqrt6이므로 sin⁡αsin⁡β=63\displaystyle \sin\alpha\sin\beta=\frac{\sqrt6}3이다.

(1-2)(1-1)의 결과와 문제의 조건으로부터 다음을 얻는다.{sin⁡αsin⁡β=633cos⁡α=2cos⁡β⇔{sin⁡2αsin⁡2β=239cos⁡2α=4cos⁡2β⇔{(1−cos⁡2α)(1−cos⁡2β)=2394cos⁡2α=cos⁡2β⇒(1−cos⁡2α)(1−94cos⁡2α)=23⇒27cos⁡4α−39cos⁡2α+4=0⇒(9cos⁡2α−1)(3cos⁡2α−4)=0∴cos⁡2α=19\displaystyle \begin{aligned} \begin{cases}\sin\alpha\sin\beta=\frac{\sqrt6}3\\3\cos\alpha=2\cos\beta\end{cases} &\Leftrightarrow\begin{cases}\sin^2\alpha\sin^2\beta=\frac23\\9\cos^2\alpha=4\cos^2\beta\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}(1-\cos^2\alpha)(1-\cos^2\beta)=\frac23\\\frac94\cos^2\alpha=\cos^2\beta\end{cases}\\ &\Rightarrow(1-\cos^2\alpha)(1-\frac94\cos^2\alpha)=\frac23\Rightarrow27\cos^4\alpha-39\cos^2\alpha+4=0\\ &\Rightarrow(9\cos^2\alpha-1)(3\cos^2\alpha-4)=0\\ &\therefore\cos^2\alpha=\frac19 \end{aligned}이다. 따라서 A\displaystyle A의 좌표는 A(3cos⁡α,0,3sin⁡α)=A(1,0,31−19)=A(1,0,22)\displaystyle A(3\cos\alpha,0,3\sin\alpha)=A(1,0,3\sqrt{1-\frac19})=A(1,0,2\sqrt2)이다.

평가 기준
공간벡터, 벡터의 내적 등을 이해하고 있는 정도
논제에서 요구하는 사항을 정확히 이해하고 기존 지식과 제시문의 내용을 바탕으로 논제의 답을 논리적으로 추론하는 능력

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