자연계열 1번

(1-1)주어진 조건으로부터 두 점 $\displaystyle A,B$의 좌표를 구하면$\displaystyle A(3\cos\alpha,0,3\sin\alpha),B(0,2\cos\beta,2\sin\beta)$이다. 제시문 (나)의 내적의 정의를 이용하면$\displaystyle 6\sin\alpha\sin\beta=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos(\angle AOB)=2\sqrt6$이므로 $\displaystyle \sin\alpha\sin\beta=\frac{\sqrt6}3$이다.

(1-2)(1-1)의 결과와 문제의 조건으로부터 다음을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned} \begin{cases}\sin\alpha\sin\beta=\frac{\sqrt6}3\\3\cos\alpha=2\cos\beta\end{cases} &\Leftrightarrow\begin{cases}\sin^2\alpha\sin^2\beta=\frac23\\9\cos^2\alpha=4\cos^2\beta\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}(1-\cos^2\alpha)(1-\cos^2\beta)=\frac23\\\frac94\cos^2\alpha=\cos^2\beta\end{cases}\\ &\Rightarrow(1-\cos^2\alpha)(1-\frac94\cos^2\alpha)=\frac23\Rightarrow27\cos^4\alpha-39\cos^2\alpha+4=0\\ &\Rightarrow(9\cos^2\alpha-1)(3\cos^2\alpha-4)=0\\ &\therefore\cos^2\alpha=\frac19 \end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle A$의 좌표는 $\displaystyle A(3\cos\alpha,0,3\sin\alpha)=A(1,0,3\sqrt{1-\frac19})=A(1,0,2\sqrt2)$이다.