수학과학우수자 1번

(1-1)$\displaystyle C$에서 $\displaystyle AB$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$라 하고 $\displaystyle \overline{CH}=h$, $\displaystyle \overline{HD}=x$라 하자. 이제 피타고라스 정리를 쓰면 $\displaystyle x^2+h^2=d^2$과Caution. 길이나 각의 크기를 합과 차로 나타낼 때는 점들의 위치 관계를 확인해야 한다: 대학 예시답안은 $\displaystyle HD=x$를 길이로 놓고 $\displaystyle b^2=(x+n)^2+h^2$, $\displaystyle a^2=(m-x)^2+h^2$를 사용하였다. 이 식은 수선의 발 $\displaystyle H$가 $\displaystyle D$를 기준으로 $\displaystyle B$ 쪽에 있을 때 성립한다. $\displaystyle H$가 $\displaystyle A$ 쪽에 있으면 각각 $\displaystyle b^2=(n-x)^2+h^2$, $\displaystyle a^2=(m+x)^2+h^2$로 써야 한다. 또는 $\displaystyle D$를 원점으로 하고 $\displaystyle B$ 쪽을 양의 방향으로 잡아 $\displaystyle H$의 좌표를 $\displaystyle x$로 정의하면 원문의 제곱식들을 모든 위치에서 사용할 수 있다. 위치 관계를 보완해도 증명하려는 등식과 (1-2)의 최종 답은 달라지지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle (x+n)^2+h^2=b^2$ --- ①　$\displaystyle (m-x)^2+h^2=a^2$ --- ②를 얻는다. 이제$\displaystyle \begin{aligned} a^2n+b^2m&=n(m-x)^2+nh^2+m(x+n)^2+mh^2\\ &=nm^2+nx^2+nh^2+mx^2+mn^2+mh^2 \end{aligned}$이 되고 한편,$\displaystyle c(d^2+mn)=(m+n)(x^2+h^2+mn)=mx^2+mh^2+m^2n+nx^2+nh^2+mn^2$이 되어 주어진 등식을 얻는다.

(1-2)$\displaystyle \overline{BD_k}=\frac kn c$, $\displaystyle \overline{D_kA}=\frac{n-k}n c$이고 이것을 (2-1)에서 얻은 공식에 대입하면Correction. 여기서 인용한 (2-1)은 (1-1)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle a^2\frac{n-k}n+b^2\frac kn=d_k^2+\frac{k(n-k)}{n^2}c^2$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned} P_n=\frac1n\sum_{k=1}^n d_k^2&=\frac1n\sum_{k=1}^n\left[a^2\left(1-\frac kn\right)+b^2\frac kn-\frac{k(n-k)}{n^2}c^2\right]\\ &=\frac1n\sum_{k=1}^n\left[a^2-a^2\frac kn+b^2\frac kn-c^2\frac kn+c^2\left(\frac kn\right)^2\right]\\ \therefore\lim_{n\to\infty}P_n&=\int_0^1(a^2-(a^2-b^2+c^2)x+c^2x^2)\,dx\\ &=\frac12(a^2+b^2-c^2)+\frac{c^2}3=\frac{a^2}2+\frac{b^2}2-\frac{c^2}6 \end{aligned}$