자연계열 3번

(3-1)$\displaystyle 4^{n}=(1+1)^{2n}={}_{2n}C_{0}+{}_{2n}C_{1}+\cdots+{}_{2n}C_{n}+\cdots+{}_{2n}C_{2n}$

(3-2)(3-1)에 의해 $\displaystyle 4^{n}={}_{2n}C_{0}+{}_{2n}C_{1}+\cdots+{}_{2n}C_{n}+\cdots+{}_{2n}C_{2n}>{}_{2n}C_{n}$이 성립한다. 이제 $\displaystyle a=3$인 경우는 모든 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle 3^{n}$이 $\displaystyle {}_{2n}C_{n}$보다 크지 않음을 보이자. $\displaystyle n=5$일 때, $\displaystyle 3^{5}=243$, $\displaystyle {}_{10}C_{5}=252$이므로 $\displaystyle 3^{5}<{}_{10}C_{5}$. 즉, 모든 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a^{n}$이 $\displaystyle {}_{2n}C_{n}$보다 크게 되는 최소의 자연수는 $\displaystyle 4$이다.

(3-3)답은 $\displaystyle 4$이다. $\displaystyle 0<a<4$이라면, $\displaystyle n$이 충분히 클 때 $\displaystyle a^{n}$이 $\displaystyle {}_{2n}C_{n}$보다 작음을 보이면 된다.수열 $\displaystyle b_{n}={}_{2n}C_{n}$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$을 계산해 보면$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_{n}} &=\lim_{n\to\infty}\frac{\ \frac{(2n+2)!}{(n+1)!\,(n+1)!}\ }{\ \frac{(2n)!}{n!\,n!}\ } \\\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)(n+1)}=4 \end{aligned}$이다. 따라서 제시문 (나)에 의해 만일 $\displaystyle a<4$이라면 충분히 큰 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle a^{n}<b_{n}$이 성립하게 된다. 따라서 최솟값은 4가 된다.