수학과학우수자 2번

(2-1)제시문 (나)에 의해 주어진 조건을 만족하는 $\displaystyle X$가 나타내는 도형은 반지름이 $\displaystyle 1$인 반쪽 구(경계 포함)이다. 따라서 겉넓이는 $\displaystyle \frac12(4\pi(1)^2)+\pi(1)^2=3\pi$이다.

(2-2)제시문 (다)에 의해 주어진 조건을 만족하는 $\displaystyle X$가 나타내는 도형은 아래 그림과 같이 반지름이 $\displaystyle 2$이고 높이가 무한인 원기둥과 $\displaystyle \overrightarrow{OB}=(1,2,2)$에 수직이고 원점에서 거리가 $\displaystyle |\overrightarrow{OB}|=3$인 두 평면 $\displaystyle \alpha,\beta$에 의해 잘린 도형이다. $\displaystyle \overrightarrow{OB}$와 $\displaystyle z$축이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 두면,Correction. 원기둥을 설명하는 제시문은 (다)가 아니라 (라)이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec k\cdot\overrightarrow{OB}}{|\vec k||\overrightarrow{OB}|}=\frac23$이고, $\displaystyle \alpha$평면과 $\displaystyle xy$-평면이 이루는 각이 $\displaystyle \theta$이므로 $\displaystyle \alpha$평면과 원기둥이 만나 생기는 도형의 넓이를 $\displaystyle S$라 하면 정사영의 법칙에 의해 $\displaystyle S\cos\theta=4\pi$, 즉 $\displaystyle S=4\pi\times\frac32=6\pi$이다. 따라서 구하는 입체의 부피는 $\displaystyle V=S\times2|\overrightarrow{OB}|=6\pi\times6=36\pi$이다.

(2-3)먼저 점 $\displaystyle B$가 원점인 경우 부피는 0이므로 성립하지 않는다. 점 $\displaystyle B$가 원점이 아닌 경우 제시문 (다)에 의해 주어진 조건을 만족하는 $\displaystyle X$가 나타내는 도형은 (2-2)에서와 같이 반지름이 1이고 높이가 무한인 원기둥과 $\displaystyle \overrightarrow{OB}$에 수직이고 원점에서 거리가 $\displaystyle r=|\overrightarrow{OB}|$인 두 평면 $\displaystyle \alpha,\beta$에 의해 잘린 도형이다. $\displaystyle \overrightarrow{OB}=(x,y,z)$라 하고 $\displaystyle \overrightarrow{OB}$와 $\displaystyle z$축이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 두면, $\displaystyle z=r\cos\theta$이다. $\displaystyle \alpha$평면과 $\displaystyle xy$-평면이 이루는 각이 $\displaystyle \theta$이므로 $\displaystyle \alpha$평면과 원기둥이 만나 생기는 도형의 넓이를 $\displaystyle S$라 하면 정사영의 법칙에 의해 $\displaystyle S\cos\theta=\pi$이다. 문제에서 점 $\displaystyle X$가 나타내는 도형의 부피가 $\displaystyle \pi$라 하였으므로 $\displaystyle \pi=S\times2r=\frac\pi{\cos\theta}2r$로부터Comment. $\displaystyle B$가 원점이면 두 번째 부등식은 $\displaystyle 0\le0$이 되어 점 $\displaystyle X$의 위치를 제한하지 않는다. 남는 조건은 $\displaystyle x^2+y^2\le1$뿐이므로 도형의 부피는 $\displaystyle 0$이 아니라 무한하다. 부피가 $\displaystyle \pi$가 될 수 없어 원점을 제외한다는 결론은 맞다. 원문의 잘못된 부피 설명은 수록 원칙에 따라 그대로 실었다.$\displaystyle r=\frac{\cos\theta}2$ --- ①Caution. 식을 길이나 넓이로 해석할 때는 그 값이 음이 아닌지 확인해야 한다: $\displaystyle r=|\overrightarrow{OB}|$는 원점과 점 $\displaystyle B$ 사이의 거리이므로 음이 아니다. $\displaystyle \theta$를 $\displaystyle \overrightarrow{OB}$와 양의 $\displaystyle z$축이 이루는 각으로 잡으면 $\displaystyle \cos\theta$는 음수일 수 있으므로, 원문의 $\displaystyle r=\frac{\cos\theta}2$는 그대로 성립하지 않는다. 이때는 $\displaystyle r=\frac{|\cos\theta|}2$로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Comment. $\displaystyle \theta$를 $\displaystyle \overrightarrow{OB}$와 양의 $\displaystyle z$축이 이루는 각으로 잡으면 정사영 식에도 $\displaystyle |\cos\theta|$가 필요하다. $\displaystyle r=\frac{|\cos\theta|}2$에서 $\displaystyle x^2+y^2+z^2=\frac{|z|}2$를 얻으므로, $\displaystyle z$의 부호에 따라 두 구가 나온다. $\displaystyle z=0$인 경우에는 유한한 부피가 나오지 않으므로 제외한다. 대학이 제시한 최종 두 구의 답은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.을 얻는다. ①의 양변에 $\displaystyle r$을 곱하여 정리하면 다음을 얻는다.$\displaystyle r^2=\frac{r\cos\theta}2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\frac z2\Leftrightarrow x^2+y^2+\left(z-\frac14\right)^2=\left(\frac14\right)^2$.따라서 점 $\displaystyle B$의 집합은 중심이 각각 $\displaystyle (0,0,\pm\frac14)$이고 반지름이 $\displaystyle \frac14$인 두 구의 합집합에서 원점을 뺀 것이다.