자연계열 4번

(4-1)$\displaystyle (E-A_n)(E+A_n+A_n^2+\cdots+A_n^{n-1})=E-A_n^n=E-E=O$이다.$\displaystyle E-A_n=\begin{pmatrix}1-\cos\frac{2\pi}n&\sin\frac{2\pi}n\\-\sin\frac{2\pi}n&1-\cos\frac{2\pi}n\end{pmatrix}$이고,$\displaystyle \left(1-\cos\frac{2\pi}n\right)^2+\sin^2\frac{2\pi}n=2\left(1-\cos\frac{2\pi}n\right)=4\sin^2\frac\pi n\ne0\quad(\because n\ge2)$이므로 $\displaystyle E-A_n$은 역행렬을 갖는다. 따라서 제시문에 의해$\displaystyle E+A_n+A_n^2+\cdots+A_n^{n-1}=O$.

(4-2)$\displaystyle B_n=EB_n=A_n+2A_n^2+3A_n^3+\cdots+(n-1)A_n^{n-1}$ --- ①$\displaystyle A_nB_n=A_n^2+2A_n^3+\cdots+(n-2)A_n^{n-1}+(n-1)A_n^n$ --- ②①에서 ②를 빼면$\displaystyle \begin{aligned} (E-A_n)B_n&=A_n+A_n^2+\cdots+A_n^{n-1}-(n-1)E\\ &=(E+A+A^2+\cdots+A^{n-1})-nE=-nE \end{aligned}$Correction. 이 줄의 행렬 $\displaystyle A$는 모두 $\displaystyle A_n$을 뜻한다. 아래첨자 $\displaystyle n$이 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서$\displaystyle \begin{aligned} B_n=-n(E-A_n)^{-1}&=-n\frac1{4\sin^2\frac\pi n}\begin{pmatrix}1-\cos\frac{2\pi}n&-\sin\frac{2\pi}n\\\sin\frac{2\pi}n&1-\cos\frac{2\pi}n\end{pmatrix}\\ &=-\frac n2\begin{pmatrix}1&-\cot\frac\pi n\\\cot\frac\pi n&1\end{pmatrix} \end{aligned}$

(4-3)$\displaystyle C_n=\frac2{n(n-1)}B_n=-\frac1{n-1}\begin{pmatrix}1&-\cot\frac\pi n\\\cot\frac\pi n&1\end{pmatrix}$, $\displaystyle b_n=\frac1{n-1}\cot\frac\pi n$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\cot\frac\pi n}{n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac1{n-1}\frac{\cos\frac\pi n}{\sin\frac\pi n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\cos\frac\pi n}{n\sin\frac\pi n-\sin\frac\pi n}=\frac1{\pi-0}=\frac1\pi$.한편 $\displaystyle a_nd_n-b_nc_n=\frac1{(n-1)^2}(1+\cot^2\frac\pi n)=\frac{\operatorname{cosec}^2\frac\pi n}{(n-1)^2}=\left(\frac1{(n-1)\sin\frac\pi n}\right)^2$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_nd_n-b_nc_n)=\frac1{\pi^2}$.