자연계열 2번

(2-1)($\displaystyle \Rightarrow$) 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle |f^{\prime}(x)|\le1$이라 가정하자.함수 $\displaystyle f$가 실수 전체에서 미분가능하므로 제시문 (나)의 평균값 정리에 의해 $\displaystyle \frac{f(s)-f(t)}{s-t}=f^{\prime}(c)$를 만족하는 $\displaystyle c$가 존재한다. 따라서$\displaystyle |f(s)-f(t)|=|f^{\prime}(c)(s-t)|=|f^{\prime}(c)||s-t|\le|s-t|$가 성립한다.($\displaystyle \Leftarrow$) 모든 실수 $\displaystyle s,t$에 대하여 $\displaystyle |f(s)-f(t)|\le|s-t|$이라 가정하자.그러므로 모든 $\displaystyle h$에 대하여 $\displaystyle |f(x+h)-f(x)|\le|x+h-x|=|h|$이다. 따라서 $\displaystyle -1\le\frac{f(x+h)-f(x)}h\le1$이다. 이 부등식의 각 항에 $\displaystyle \lim_{h\to0}$을 취하면 $\displaystyle -1\le\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\le1$이고 $\displaystyle f$가 실수 전체에서 미분가능한 함수이므로 $\displaystyle -1\le f^{\prime}(x)\le1$, 즉 $\displaystyle |f^{\prime}(x)|\le1$이다.

(2-2)$\displaystyle |f^{\prime}(x)|\le1$이므로 $\displaystyle |f(x)-f(0)|\le|x-0|$이고 따라서 $\displaystyle |f(x)|\le|x|$이다.$\displaystyle a\le b$임을 가정하자.(풀이1)$\displaystyle g(x)=x^{\frac23}f(x^{\frac13})$이라 두면 $\displaystyle x\ne0$이면 $\displaystyle g^{\prime}(x)$가 존재하는 것은 당연하고, $\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{f(x^{\frac13})}{x^{\frac13}}=f^{\prime}(0)$이므로 $\displaystyle g(x)$는 실수 전체에서 미분가능하다.또한 $\displaystyle |g^{\prime}(x)|=\left|\frac23x^{-\frac13}f(x^{\frac13})+x^{\frac23}f^{\prime}(x^{\frac13})\frac13x^{-\frac23}\right|\le\frac23|x|^{-\frac13}|x|^{\frac13}+\frac13=1$이다. 따라서, (2-1)에 의해 $\displaystyle |b^2f(b)-a^2f(a)|=|g(b^3)-g(a^3)|\le|b^3-a^3|$이 성립한다.