자연계열 1번

(1-1)$\displaystyle g(x)=\begin{cases}x+4&(x<-3)\\(x+2)^2&(-3\le x<-1)\\x^4&(-1\le x<1)\\4x-3&(x\ge1)\end{cases}$이므로

(1-2)(i) $\displaystyle k<-1$인 경우 : $\displaystyle a_n<-1$이면 $\displaystyle a_{n+1}=a_n+2$이므로, 수열 $\displaystyle \{a_n\}$에서 $\displaystyle -1\le a_m<1$인 $\displaystyle m$이 존재한다. 그러면, $\displaystyle n>m$인 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}=a_n^2$이므로, $\displaystyle a_n=a_m^{2^{n-m}}$은 $\displaystyle 0\ (0<a_m<1$인 경우) 또는 $\displaystyle 1\ (a_m=1$인 경우)로 수렴한다.(ii) $\displaystyle -1<k<1$인 경우 : $\displaystyle a_n=k^{2^{n-1}}$은 $\displaystyle 0$으로 수렴한다.(iii) $\displaystyle k=-1$ 또는 $\displaystyle k=1$인 경우 : $\displaystyle a_n=1\ (n\ge2)$이다. 따라서 수렴한다.(iv) $\displaystyle k>1$인 경우 : $\displaystyle a_{n+1}=2a_n-1$이고, $\displaystyle a_n=1+(k-1)2^{n-1}$이므로 발산한다.따라서 수열 $\displaystyle \{a_n\}$이 극한값을 가질 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle k\le1$이다.