자연계열 1번

(가) 두 함수 $\displaystyle f:X\to Y$와 $\displaystyle g:Y\to Z$가 주어졌을 때, 집합 $\displaystyle X$의 임의의 원소 $\displaystyle x$에 대하여 함숫값 $\displaystyle f(x)$는 집합 $\displaystyle Y$의 원소이다. 또한 집합 $\displaystyle Y$의 원소 $\displaystyle f(x)$에 대하여 함숫값 $\displaystyle g(f(x))$는 집합 $\displaystyle Z$의 원소이다. 이때 집합 $\displaystyle X$의 임의의 원소 $\displaystyle x$에 집합 $\displaystyle Z$의 원소 $\displaystyle g(f(x))$를 대응시켜 $\displaystyle X$를 정의역, $\displaystyle Z$를 공역으로 하는 새로운 함수를 얻을 수 있다. 이렇게 얻은 함수를 두 함수 $\displaystyle f$와 $\displaystyle g$의 합성함수라 하고, 기호$\displaystyle g\circ f:X\to Z$ 또는 $\displaystyle y=g(f(x))$로 나타낸다.

(나) 함수 $\displaystyle f(x)$에서 $\displaystyle x$가 $\displaystyle a$보다 작은 값을 가지면서 $\displaystyle a$에 한없이 가까워질 때, $\displaystyle f(x)$의 값이 일정한 값 $\displaystyle \alpha$에 한없이 가까워지면 $\displaystyle \alpha$를 $\displaystyle x=a$에서 $\displaystyle f(x)$의 좌극한이라고 하며, $\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha$와 같이 나타낸다. 또, $\displaystyle x$가 $\displaystyle a$보다 큰 값을 가지면서 $\displaystyle a$에 한없이 가까워질 때, $\displaystyle f(x)$의 값이 일정한 값 $\displaystyle \beta$에 한없이 가까워지면 $\displaystyle \beta$를 $\displaystyle x=a$에서 $\displaystyle f(x)$의 우극한이라고 하며, $\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=\beta$와 같이 나타낸다. 우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면, 즉 $\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)\ne\lim_{x\to a-0}f(x)$이면 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$는 존재하지 않는다.

(다) 함수 $\displaystyle y=f(x)$에서 $\displaystyle x$의 값이 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle a+h$까지 변할 때, 극한값 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$가 존재하면, 함수 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하다고 하며, 이 극한값을 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 $\displaystyle x=a$에서의 미분계수라고 하고, 이를 기호로 $\displaystyle f^{\prime}(a)$와 같이 나타낸다.