수학과학우수자 1번

(1-1)직선 $\displaystyle x+y=9$와 평행이면서 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$과 접하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-x\pm5$이다. 따라서 $\displaystyle P$는 $\displaystyle y=-x-5$와 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$의 접점이며, 이 점과 직선 $\displaystyle x+y=9$의 거리는 $\displaystyle \frac{14}{\sqrt2}=7\sqrt2$이다.

(1-2)문제 (1-1)과 같은 상황에서 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$ 위의 점 중에서 직선 $\displaystyle x+y=9$까지의 거리가 최소인 점은 $\displaystyle y=-x+5$와 타원의 접점이다. 이 점의 $\displaystyle x$-좌표를 구하기 위해서 방정식 $\displaystyle \frac{x^2}{4^2}+\frac{(-x+5)^2}{3^2}=1$을 정리하면, $\displaystyle 25x^2-160x+256=0$, 즉, $\displaystyle (5x-16)^2=0$이다. 따라서 타원 위의 점 중에서 직선 $\displaystyle x+y=9$까지의 거리가 최소인 점은 $\displaystyle \left(\frac{16}5,\frac95\right)$이다. 이 점에서 직선 $\displaystyle x+y=9$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle (z,w)$라고 하면 기울기 $\displaystyle \frac{w-9/5}{z-16/5}=1$이어야 하므로, $\displaystyle w=z-\frac75$이다. 이것을 $\displaystyle z+w=9$와 연립해서 풀면 $\displaystyle z=\frac{26}5,w=\frac{19}5$이다. 따라서 $\displaystyle x=\frac{16}5,y=\frac95,z=\frac{26}5,w=\frac{19}5$에서 식의 값은 최소이다.