인하대 2015학년도 모의 자연계열 3번 해설

(가) (적분과 미분의 관계) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, $\displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\quad(a\le x\le b)$ 는 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 $\displaystyle (a,b)$ 에서 미분가능하며 $\displaystyle \frac d{dx}F(x)=f(x)$ 이다. 즉, $\displaystyle \frac d{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)\quad(a\le x\le b)$

(나) 미분가능한 두 함수 $\displaystyle y=f(u),u=g(x)$ 에 대하여 합성함수 $\displaystyle y=f(g(x))$ 도 미분가능하며, 그 도함수는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ 또는 $\displaystyle y^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$ 이다.

(※) 양의 상수 $\displaystyle a$ 에 대해 $\displaystyle -\sqrt{\frac{10}a}\le x\le\sqrt{\frac{10}a}$ 에서 정의된 포물선 $\displaystyle y=ax^2$ 을 $\displaystyle y$ 축 둘레로 회전하여 얻은 포물면 모양의 빈 그릇이 있다.

(3-1) 이 그릇에 물이 가득 채워졌을 때 물의 부피를 구하시오. (5점)

(3-2) $\displaystyle t=0$ 일 때 이 그릇에 물을 붓기 시작하였다. 시각 $\displaystyle t$ 에서 수면의 높이를 $\displaystyle h=h(t)$ 라 하고, 그릇에 담긴 물의 부피를 $\displaystyle V=V(t)$ 라 할 때 $\displaystyle V$ 가 미분가능하고 항상 $\displaystyle \frac d{dt}V(t)=b$ ( $\displaystyle b$ 는 양의 상수)가 되도록 물을 붓는다. $\displaystyle t=c$ 일 때 그릇에 물이 가득 채워진다고 하고 $\displaystyle h$ 가 $\displaystyle t$ 에 관해서 미분가능하다고 가정할 때 $\displaystyle \lim_{t\to c-0}\frac d{dt}h(t)$ 를 구하시오. (10점)

(3-3) 이 그릇에 물이 가득 담겨 있는데, 수면의 넓이에 비례하는 양의 물이 증발하여 물의 부피가 점점 작아진다. 시각 $\displaystyle t$ 에서 그릇에 담긴 물의 부피를 $\displaystyle V=V(t)$ 라 하고, 수면의 높이를 $\displaystyle h=h(t)$ 라 하면 수면의 넓이는 $\displaystyle A=A(h)=A(h(t))$ 로 표현된다. 그러면 상수 $\displaystyle k>0$ 에 대해 $\displaystyle \frac d{dt}V(t)=-kA$ 가 성립한다. 이 그릇의 물이 완전히 말라버릴 때까지 시간이 얼마나 걸리는가? (단, $\displaystyle V=V(t)$ 와 $\displaystyle h=h(t)$ 가 미분가능하고 $\displaystyle A=A(h(t))$ 는 연속이라 가정한다.) (10점)

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5 · (3-1)

(3-1)회전체의 부피 공식에 의해 빈 그릇에 물이 가득 채워질 때 물의 부피는 다음과 같다. $\displaystyle V=\pi\int_0^{10}\frac ya\,dy=\Biggl[\frac{\pi y^2}{2a}\Biggr]_0^{10}=\frac{50\pi}a$

10 · (3-2)

(3-2)시각 $\displaystyle t$ 일 때 그릇 안의 물은 $\displaystyle 0\le y\le h(t)$ 인 영역에 위치하고, $\displaystyle V(t)=\pi\int_0^{h(t)}\frac ya\,dy=\frac\pi{2a}(h(t))^2$ 이다.양변을 $\displaystyle t$ 로 미분하면 $\displaystyle b=V^{\prime}(t)=\frac\pi a h(t)h^{\prime}(t)$ 이다. 따라서 $\displaystyle 0<t<c$ 일 때 $\displaystyle h^{\prime}(t)=\frac{ab}{\pi h(t)}$ 이다. $\displaystyle h(c)=10$ 이므로 $\displaystyle \lim_{t\to c-0}h^{\prime}(t)=\frac{ab}{10\pi}$ 이다.

10 · (3-3)

(3-3)시각 $\displaystyle t$ 일 때 그릇 안의 물은 $\displaystyle 0\le y\le h(t)$ 인 영역에 위치하고, $\displaystyle V(t)=\int_0^{h(t)}A(y)\,dy$ 이다. $\displaystyle F(s)=\int_0^sA(y)\,dy$ 라 두면 $\displaystyle V(t)=F(h(t))$ 이다. $\displaystyle F^{\prime}(s)=A(s)$ 이므로, $\displaystyle V^{\prime}(t)=F^{\prime}(h(t))h^{\prime}(t)=A(h(t))h^{\prime}(t)$ 이다. $\displaystyle V^{\prime}(t)=-kA(h(t))$ 라는 가정에 의해 $\displaystyle h^{\prime}(t)=-k$ 이다. $\displaystyle h(0)=10$ 이므로 $\displaystyle h(t)=10-kt$ 이다. 따라서 $\displaystyle t=\frac{10}k$ 일 때 물이 완전히 말라버린다.

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자연계열 3번

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