자연계열 4번

(4-1)$\displaystyle -\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi4$이므로 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}\le\cos\theta\le1$, $\displaystyle 1\le\sec\theta\le\sqrt2$이다.따라서 $\displaystyle 1\le\sec^2\theta\le2$이므로 $\displaystyle e^{x\tan\theta}\le e^{x\tan\theta}\sec^2\theta\le2e^{x\tan\theta}$이다.$\displaystyle -\frac\pi4$에서 $\displaystyle \frac\pi4$까지 적분을 취하면 $\displaystyle \frac12G(x)\le F(x)\le G(x)$이다.

(4-2)제시문 (가)로부터 $\displaystyle G(x)=\int_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}e^{x\tan\theta}\sec^2\theta\,d\theta=\Biggl[\frac1x e^{x\tan\theta}\Biggr]_{-\frac\pi4}^{\frac\pi4}=\frac{e^x-e^{-x}}x$를 얻는다.$\displaystyle x>0$이고 $\displaystyle \ln$은 증가함수이므로 (4-1)에서 주어진 부등식 $\displaystyle \frac12G(x)\le F(x)\le G(x)$으로부터 $\displaystyle \frac1x\ln\left(\frac12xG(x)\right)\le\frac1x\ln(xF(x))\le\frac1x\ln(xG(x))$을 얻는다.한편 $\displaystyle \frac1x\ln\left(\frac12xG(x)\right)=\frac1x\ln\frac12+\frac1x\ln(xG(x))$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac1x\ln\frac12=0$이므로 구하는 극한값은 제시문 (다)에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to\infty}\frac1x\ln(xF(x))&=\lim_{x\to\infty}\frac1x\ln(xG(x))\\&=\lim_{x\to\infty}\frac1x\ln(e^x-e^{-x})\\&=\lim_{x\to\infty}\frac1x\ln(e^x(1-e^{-2x}))=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{\ln(1-e^{-2x})}x\right)=1\end{aligned}$