자연계열 2번

(2-1)

(2-2)주어진 원 $\displaystyle K$를 $\displaystyle 45^\circ$ 회전한 원 $\displaystyle C$가 $\displaystyle S$와 만나는 점의 개수를 생각해보자.$\displaystyle 0<r<\sqrt2$이면 $\displaystyle C$와 $\displaystyle S$의 윗변과 오른쪽 변과 각각 한 번씩 만난다.그런데 이 범위에서 특히 $\displaystyle 1<r<\sqrt2$인 경우, 원 $\displaystyle K$에는 원점과의 거리가 $\displaystyle S$의 꼭짓점에서 원점까지의 거리와 같은 점 $\displaystyle P$가 존재한다. 즉, $\displaystyle \overline{OP}=\sqrt2r$인 점 $\displaystyle P\in K$가 존재한다. 이때, $\displaystyle P$가 $\displaystyle S$의 꼭짓점에 오도록 $\displaystyle K$를 적당히 회전하면, 회전한 원과 $\displaystyle S$는 세 점에서 만난다. 왜냐하면, 회전한 원의 중심은 $\displaystyle S$의 내부에 위치하기 때문이다.$\displaystyle r=\sqrt2$인 경우에도 $\displaystyle C$와 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S$의 꼭짓점 $\displaystyle (\sqrt2,\sqrt2)$을 포함해서 3개의 점에서 만난다.$\displaystyle \sqrt2<r<1+\frac{\sqrt2}2$이면 $\displaystyle C$와 $\displaystyle S$는 $\displaystyle S$의 윗변과 오른쪽 변에서 각각 2번씩 총 4번 만난다.$\displaystyle r=1+\frac{\sqrt2}2$이면, $\displaystyle C$는 $\displaystyle S$의 윗변과 오른쪽 변의 각각 한 점에서 접하고, $\displaystyle r>1+\frac{\sqrt2}2$이면, $\displaystyle C$와 $\displaystyle S$는 만나지 않는다.따라서 문제의 조건을 만족하려면 $\displaystyle r\ge1+\frac{\sqrt2}2$ 또는 $\displaystyle 0<r\le1$이어야 한다.이제 $\displaystyle r\ge1+\frac{\sqrt2}2$인 경우 $\displaystyle K$를 $\displaystyle 0\le\theta<\frac\pi4$만큼 회전시키면, 정사각형의 윗변, 아랫변과는 만나지 않고, 오른쪽 변과 기껏해야 2점에서 만나므로, $\displaystyle S$와의 교점은 2개 이하이다. 마찬가지로 모든 $\displaystyle \theta$값에 대하여 같은 논리로 $\displaystyle S\cap K$의 교점은 2개 이하이다.마찬가지로 $\displaystyle 0<r\le1$인 경우 주어진 원을 회전시켰을 때, $\displaystyle S$와 만나는 점들은 원 $\displaystyle K$에서 $\displaystyle x\le1$인 부분 (반원)이 회전하여 만나는 점들과 같다. $\displaystyle K$를 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi4$만큼 회전시키면, $\displaystyle S$의 윗변과 한 점에서 만나고 $\displaystyle S$의 아랫변 또는 오른쪽 변과 한 점에서 만난다. 이 경우 $\displaystyle S\cap K$는 2개의 점이며, 같은 논리에 의해 모든 $\displaystyle \theta$값에 대하여 $\displaystyle S\cap K$는 2개의 점이다.따라서 구하는 $\displaystyle r$의 범위는 $\displaystyle 0<r\le1$ 그리고 $\displaystyle r\ge1+\frac{\sqrt2}2$이다.(참고) $\displaystyle r$을 실수 범위에서 풀이한 학생의 경우는 범위를 $\displaystyle 0<|r|\le1$ 그리고 $\displaystyle |r|\ge1+\sqrt2$로 구하면 된다. $\displaystyle r=0$은 정사각형이 만들어지지 않으므로 답에서 배제한다.