수학과학우수자 2번

(2-1)$\displaystyle f(x)=x^3-ax+2$이라 놓자. 삼차방정식 $\displaystyle f(x)=0$이 서로 다른 세 실근을 가지려면 “$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-a=0$이 서로 다른 두 실근을 가지고 (극댓값)×(극솟값)$\displaystyle <0$”이어야 한다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 판별식이 양수, 즉 $\displaystyle a>0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 두 실근 $\displaystyle \pm\sqrt{\frac a3}$에 대해 $\displaystyle f\left(-\sqrt{\frac a3}\right)f\left(\sqrt{\frac a3}\right)<0\ \Leftrightarrow\ \left(\frac a3\right)^{3/2}>1\ \Leftrightarrow\ a>3$이다. 따라서 삼차방정식 $\displaystyle x^3-ax+2=0$이 서로 다른 세 실근을 가질 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle a>3$이다.

(2-2)포물선 $\displaystyle y=x^2/2$ 위의 점 $\displaystyle (x_k,y_k)$에서 접선은 $\displaystyle y-y_k=x_k(x-x_k)$이다. 그러므로 $\displaystyle (x_k,y_k)$를 지나고 이 접선에서 포물선 $\displaystyle y=x^2/2$에 수직인 직선, 즉 법선은$\displaystyle (x-x_k)+x_k(y-y_k)=0$ --- (1) 이다. 점 $\displaystyle (x_k,y_k)$는 포물선 $\displaystyle y=x^2/2$ 위의 점이고, 점 $\displaystyle Q(\alpha,\beta)$는 법선 (1) 위의 점이므로$\displaystyle 0=(\alpha-x_k)+x_k(\beta-y_k)=(\alpha-x_k)+x_k\left(\beta-\frac12x_k^2\right)$이다. 이를 정리하면 세 점의 $\displaystyle x$좌표인 $\displaystyle x_1,x_2,x_3$는 삼차방정식 $\displaystyle x^3+(2-2\beta)x-2\alpha=0$의 서로 다른 세 실근이다. 편의상 $\displaystyle f(x)=x^3+(2-2\beta)x-2\alpha$이라 두자. 삼차방정식 $\displaystyle f(x)=0$ (2)가 서로 다른 세 실근을 가지려면“$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2-2\beta=0$이 서로 다른 두 실근을 가지고 (극댓값)×(극솟값)$\displaystyle <0$”이어야 한다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 판별식이 양수, 즉 $\displaystyle \beta>1$이고$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 두 실근 $\displaystyle \pm\sqrt{\frac{2\beta-2}3}$에 대해 $\displaystyle f\left(\pm\sqrt{\frac{2\beta-2}3}\right)=\mp2\left(\frac{2\beta-2}3\right)-2\alpha$이므로,Correction. 괄호에 지수 $\displaystyle 3/2$가 빠졌다. 극값은 $\displaystyle \mp2\left(\frac{2\beta-2}3\right)^{3/2}-2\alpha$이며, 바로 뒤의 부등식과 최종 영역은 올바르다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}f\left(-\sqrt{\frac{2\beta-2}3}\right)f\left(\sqrt{\frac{2\beta-2}3}\right)<0\ &\Leftrightarrow\ \alpha^2<\left(\frac{2\beta-2}3\right)^3\\&\Leftrightarrow\ -\left(\frac{2\beta-2}3\right)^{3/2}<\alpha<\left(\frac{2\beta-2}3\right)^{3/2}\end{aligned}$이다.따라서 문제에서 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$가 만족해야 하는 조건은$\displaystyle \beta>1,\ -\left(\frac{2\beta-2}3\right)^{3/2}<\alpha<\left(\frac{2\beta-2}3\right)^{3/2}$이다. 그리고 점 $\displaystyle Q(\alpha,\beta)$가 그리는 영역을 개략적으로 그리면