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자연계열 1번

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인하대 2019학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2019su/jayeon_1

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다음 문제

문제

(가) 좌표평면 위의 두 점 P(x1,y1)\displaystyle P(x_1,y_1), Q(x2,y2)\displaystyle Q(x_2,y_2) 사이의 거리는 다음과 같다.PQ‾=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle \overline{PQ}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

(나) 서로 다른 두 점 (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1), (x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2)를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.x1≠x2\displaystyle x_1\ne x_2일 때, y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)\displaystyle y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)x1=x2\displaystyle x_1=x_2일 때, x=x1\displaystyle x=x_1

(다) a≥b>0\displaystyle a\ge b>0이고 c≥d>0\displaystyle c\ge d>0이면 ac≥bd\displaystyle ac\ge bd이다.

(※) 좌표 평면에서 자연수 n\displaystyle n에 대하여 곡선 y=x\displaystyle y=\sqrt{x} (x≥0\displaystyle x\ge0) 위의 점 An\displaystyle A_n이OAn‾=1n2\displaystyle \overline{OA_n}=\frac1{n^2}을 만족할 때, An\displaystyle A_n의 x\displaystyle x좌표를 an\displaystyle a_n이라 하자. 두 점 An\displaystyle A_n과 (0,1n2)\displaystyle \left(0,\frac1{n^2}\right)을 지나는 직선의 x\displaystyle x절편을 bn\displaystyle b_n이라 하자. (단, O\displaystyle O는 원점이다.)

(1-1) 극한값 lim⁡n→∞n4an\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^4a_n을 구하시오. (10점)

(1-2) 극한값 lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n을 구하시오. (10점)

(1-3) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오. (10점)(n+2)an+1≤(n+1)an\displaystyle (n+2)a_{n+1}\le(n+1)a_n.

해설강의 준비중

인하대 2019학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/inha/2019su/jayeon_1

+4점

(1-1) An=(an,an)\displaystyle A_n=(a_n,\sqrt{a_n})이므로 주어진 조건으로부터an2+an=1n4\displaystyle a_n^2+a_n=\frac1{n^4}을 얻는다. 한편 an≥0\displaystyle a_n\ge0이므로 위의 2차 방정식의 양의 해

+3점

an=−1+1+4/n42=2n4(1+1+4/n4)\displaystyle a_n=\frac{-1+\sqrt{1+4/n^4}}2=\frac2{n^4(1+\sqrt{1+4/n^4})}을 얻는다.

+3점

따라서 주어진 극한은 lim⁡n→∞n4an=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^4a_n=1이다.

+3점

(1-2) 두 점 An\displaystyle A_n, (0,1n2)\displaystyle \left(0,\frac1{n^2}\right)을 지나는 직선은 y=an−1/n2anx+1n2\displaystyle y=\frac{\sqrt{a_n}-1/n^2}{a_n}x+\frac1{n^2}으로 주어지며

+3점 · bn=an1−n2an\displaystyle b_n=\frac{a_n}{1-n^2\sqrt{a_n}}

이로부터bn=an1−n2an=1n4an+1n2an\displaystyle b_n=\frac{a_n}{1-n^2\sqrt{a_n}}=\frac1{n^4a_n}+\frac1{n^2\sqrt{a_n}}을 얻는다.

+4점

따라서 (1-1)에 의해 lim⁡n→∞bn=2\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=2를 얻는다.

+3점 · (n+2)an+1≤(n+1)an⟺(n+2)n2(n2+n4+4)≤(n+1)3((n+1)2+(n+1)4+4)\displaystyle (n+2)a_{n+1}\le(n+1)a_n\quad\Longleftrightarrow\quad(n+2)n^2(n^2+\sqrt{n^4+4})\le(n+1)^3((n+1)^2+\sqrt{(n+1)^4+4})

Correction. 분모를 곱해 정리한 식에서 왼쪽의 인수는 n2+n4+4\displaystyle n^2+\sqrt{n^4+4}, 오른쪽의 인수는 (n+1)2+(n+1)4+4\displaystyle (n+1)^2+\sqrt{(n+1)^4+4}이다. 예시답안의 동치식에는 각각 n2\displaystyle n^2와 (n+1)2\displaystyle (n+1)^2가 빠져 있다. 같은 쪽 채점기준에는 두 항이 모두 들어 있으며, 마지막에 비교한 두 부등식을 곱하면 결론을 얻는다.

(1-3) (1-1)로부터 (n+1)an=2(n+1)n4(1+1+4/n4)=2(n+1)n2(n2+n4+4)\displaystyle (n+1)a_n=\frac{2(n+1)}{n^4(1+\sqrt{1+4/n^4})}=\frac{2(n+1)}{n^2(n^2+\sqrt{n^4+4})}을 얻는다. 따라서 다음이 성립한다.(n+2)an+1≤(n+1)an⟺(n+2)n2n4+4≤(n+1)3(n+1)4+4\displaystyle (n+2)a_{n+1}\le(n+1)a_n\quad\Longleftrightarrow\quad(n+2)n^2\sqrt{n^4+4}\le(n+1)^3\sqrt{(n+1)^4+4}

+7점 · 위의 두 부등식 중 하나 틀린 경우 총 7점 중에서 -4점

이 때, (n+2)n2≤(n+1)3\displaystyle (n+2)n^2\le(n+1)^3, n2+n4+4≤(n+1)2+(n+1)4+4\displaystyle n^2+\sqrt{n^4+4}\le(n+1)^2+\sqrt{(n+1)^4+4}이므로 주어진 부등식이 성립한다.

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