자연계열 1번

(1-1) $\displaystyle A_n=(a_n,\sqrt{a_n})$이므로 주어진 조건으로부터$\displaystyle a_n^2+a_n=\frac1{n^4}$을 얻는다. 한편 $\displaystyle a_n\ge0$이므로 위의 2차 방정식의 양의 해$\displaystyle a_n=\frac{-1+\sqrt{1+4/n^4}}2=\frac2{n^4(1+\sqrt{1+4/n^4})}$을 얻는다. 따라서 주어진 극한은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^4a_n=1$이다.

(1-2) 두 점 $\displaystyle A_n$, $\displaystyle \left(0,\frac1{n^2}\right)$을 지나는 직선은 $\displaystyle y=\frac{\sqrt{a_n}-1/n^2}{a_n}x+\frac1{n^2}$으로 주어지며 이로부터$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{1-n^2\sqrt{a_n}}=\frac1{n^4a_n}+\frac1{n^2\sqrt{a_n}}$을 얻는다. 따라서 (1-1)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=2$를 얻는다.

(1-3) (1-1)로부터 $\displaystyle (n+1)a_n=\frac{2(n+1)}{n^4(1+\sqrt{1+4/n^4})}=\frac{2(n+1)}{n^2(n^2+\sqrt{n^4+4})}$을 얻는다. 따라서 다음이 성립한다.$\displaystyle (n+2)a_{n+1}\le(n+1)a_n\quad\Longleftrightarrow\quad(n+2)n^2\sqrt{n^4+4}\le(n+1)^3\sqrt{(n+1)^4+4}$이 때, $\displaystyle (n+2)n^2\le(n+1)^3$, $\displaystyle n^2+\sqrt{n^4+4}\le(n+1)^2+\sqrt{(n+1)^4+4}$이므로 주어진 부등식이 성립한다.