자연계열 (오후) 1번

(1-1) 함수 $\displaystyle g$를 미분하면$\displaystyle g^{\prime}(x)=\cos x-\frac{1\cdot(1+x^2)-x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\cos x-\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$이다.

제시문 (가)를 이용하면, $\displaystyle 0<x<1$일 때$\displaystyle g^{\prime}(x)=\cos x-\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}>\sqrt{1-x^2}-\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}=\sqrt{1-x^2}\left(1-\frac{\sqrt{1-x^2}}{(1+x^2)^2}\right)>0$이므로 $\displaystyle g$는 증가한다.

(1-2) 함수 $\displaystyle h(x)=\sin x-\frac1{x+n}$에 대하여 제시문 (가)의 $\displaystyle \sin x<x$ ($\displaystyle 0<x<1$)을 이용하면$\displaystyle h\left(\frac1{n+\sqrt n}\right)=\sin\left(\frac1{n+\sqrt n}\right)-\frac1{\frac1{n+\sqrt n}+n}<\frac1{n+\sqrt n}-\frac1{\frac1{n+\sqrt n}+n}<0$임을 알 수 있다. 문제 (1-1)번의 결과와 $\displaystyle g(0)=0$인 사실을 이용하면, $\displaystyle 0<x\le1$일 때 $\displaystyle g(x)>0$이므로$\displaystyle \sin x>\frac{x}{1+x^2}$이다. 이 부등식을 이용하면

$\displaystyle h\left(\frac1n\right)=\sin\left(\frac1n\right)-\frac1{\frac1n+n}>\frac{\frac1n}{1+\left(\frac1n\right)^2}-\frac1{\frac1n+n}=0$이다. 따라서 제시문 (나)에 의해

$\displaystyle \frac1{n+\sqrt n}<a_n<\frac1n$임을 알 수 있다.

(1-3) 문제 (1-2)의 결과와 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n=\lim_{n\to\infty}\frac1{n+\sqrt n}=0$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac n{n+\sqrt n}=1$을 이용하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}na_n=1$임을 알 수 있다.

따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2\int_0^{a_n}\sin x\,dx=\lim_{n\to\infty}n^2(1-\cos a_n)=\lim_{n\to\infty}n^2a_n^2\cdot\frac{\sin^2a_n}{a_n^2}\cdot\frac1{1+\cos a_n}=\frac12$이다.