수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 3번

인하대 2019학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2019su/jayeon_3

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(가) 첫째항이 a\displaystyle a, 공비가 r\displaystyle r인 등비수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 일반항 an\displaystyle a_n은 an=arn−1\displaystyle a_n=ar^{n-1}이다. r≠1\displaystyle r\ne1일 때, 등비수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합은 a(rn−1)r−1\displaystyle \frac{a(r^n-1)}{r-1}이다.

(나) (사이값 정리) 구간 [a,b]\displaystyle [a,b] 위의 두 연속함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)에 대하여 f(a)<g(a)\displaystyle f(a)<g(a)이고 f(b)>g(b)\displaystyle f(b)>g(b)이면, f(c)=g(c)\displaystyle f(c)=g(c)인 c\displaystyle c가 구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에 반드시 존재한다.

(※) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}과 {x∣x≥0}\displaystyle \{x\mid x\ge0\}에서 정의된 연속함수 f(x)\displaystyle f(x)는 다음 세 조건을 만족한다.(1) 구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 f(x)=x\displaystyle f(x)=x이다.(2) a1=1\displaystyle a_1=1이고, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 구간 [an,an+1]\displaystyle [a_n,a_{n+1}]에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 그래프는 기울기가 (−1)n\displaystyle (-1)^n인 직선의 일부이다.(3) 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 f(an+1)=−2f(an)\displaystyle f(a_{n+1})=-2f(a_n)이다.

(3-1) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 5번째 항 a5\displaystyle a_5의 값을 구하시오. (5점)

(3-2) f(x)=0\displaystyle f(x)=0을 만족하는 x\displaystyle x (x>0\displaystyle x>0)의 값을 작은 것부터 순서대로 x1,x2,x3,…\displaystyle x_1,x_2,x_3,\ldots이라고 할 때, x10\displaystyle x_{10}의 값을 구하시오. (5점)

(3-3) ∫0αf(t)dt=1000\displaystyle \int_0^\alpha f(t)dt=1000인 가장 작은 양수 α\displaystyle \alpha의 값이 구간 (ak,ak+1)\displaystyle (a_k,a_{k+1})에 속할 때, k\displaystyle k의 값을 구하시오. (10점)

(3-4) ∣m∣≤110\displaystyle |m|\le\frac1{10}인 실수 m\displaystyle m에 대하여, ∫0x(f(t)−mt)dt=0\displaystyle \int_0^x(f(t)-mt)dt=0을 만족하는 양수 x\displaystyle x의 값이 무한히 많음을 보이시오. (15점)

해설강의 준비중

인하대 2019학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/inha/2019su/jayeon_3

함수 f(x)\displaystyle f(x)의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.

기울기가 번갈아 바뀌며 진폭이 커지는 f의 그래프
+3점 · 구간 (an,an+1)\displaystyle (a_n,a_{n+1})에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 x\displaystyle x절편을 xn\displaystyle x_n이라고 하면, {xn}\displaystyle \{x_n\}은 x1=2\displaystyle x_1=2이고 n≥2\displaystyle n\ge2일 때 xn−xn−1=2×2n−1\displaystyle x_n-x_{n-1}=2\times2^{n-1}을 만족한다. an=xn−1+xn2\displaystyle a_n=\frac{x_{n-1}+x_n}2이므로,

(3-1) 구간 (an,an+1)\displaystyle (a_n,a_{n+1})에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 x\displaystyle x절편을 xn\displaystyle x_n이라고 하면, {xn}\displaystyle \{x_n\}은 x1=2\displaystyle x_1=2이고n≥2\displaystyle n\ge2일 때 xn−xn−1=2×2n−1\displaystyle x_n-x_{n-1}=2\times2^{n-1}을 만족한다.

+2점 · x4=2(24−1)2−1=30\displaystyle x_4=\frac{2(2^4-1)}{2-1}=30, x5=30+32=62\displaystyle x_5=30+32=62이고 a5=30+622=46\displaystyle a_5=\frac{30+62}2=46이다.

an=xn−1+xn2\displaystyle a_n=\frac{x_{n-1}+x_n}2이므로, x4=2(24−1)2−1=30\displaystyle x_4=\frac{2(2^4-1)}{2-1}=30, x5=30+32=62\displaystyle x_5=30+32=62이고 a5=30+622=46\displaystyle a_5=\frac{30+62}2=46이다.(별해) a2=2+2=4\displaystyle a_2=2+2=4, a3=2+4+4=10\displaystyle a_3=2+4+4=10, a4=2+4+8+8=22\displaystyle a_4=2+4+8+8=22, a5=2+4+8+16+16=46\displaystyle a_5=2+4+8+16+16=46이다.

+3점 · xn\displaystyle x_n은 등비수열 {2n}\displaystyle \{2^n\}의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합과 같으므로 xn=∑k=1n2k=2n+1−2\displaystyle x_n=\sum_{k=1}^n2^k=2^{n+1}-2이다.

(3-2) xn\displaystyle x_n은 등비수열 {2n}\displaystyle \{2^n\}의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합과 같으므로 xn=∑k=1n2k=2n+1−2\displaystyle x_n=\sum_{k=1}^n2^k=2^{n+1}-2이다.

+2점 · 따라서 x10=211−2=2046\displaystyle x_{10}=2^{11}-2=2046이다.

따라서 x10=211−2=2046\displaystyle x_{10}=2^{11}-2=2046이다.

+5점 · ∫0anf(t)dt=3(−4)n−1+210\displaystyle \int_0^{a_n}f(t)dt=\frac{3(-4)^{n-1}+2}{10}이다.

(3-3) f(an)=(−1)n+12n−1\displaystyle f(a_n)=(-1)^{n+1}2^{n-1}이므로, ∫xn−1xnf(t)dt=12(xn−xn−1)f(an)=12×2n×(−2)n−1=(−4)n−1\displaystyle \int_{x_{n-1}}^{x_n}f(t)dt=\frac12(x_n-x_{n-1})f(a_n)=\frac12\times2^n\times(-2)^{n-1}=(-4)^{n-1}이므로,∫0anf(t)dt=∫0xn−1f(t)dt+∫xn−1anf(t)dt=(1−4+42−⋯+(−4)n−2)+(−4)n−12=(−4)n−1−1(−4)−1+(−4)n−12=3(−4)n−1+210\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{a_n}f(t)dt&=\int_0^{x_{n-1}}f(t)dt+\int_{x_{n-1}}^{a_n}f(t)dt\\&=(1-4+4^2-\cdots+(-4)^{n-2})+\frac{(-4)^{n-1}}2=\frac{(-4)^{n-1}-1}{(-4)-1}+\frac{(-4)^{n-1}}2=\frac{3(-4)^{n-1}+2}{10}\end{aligned}

+5점 · 그러므로 k=6\displaystyle k=6. 논리적인 설명이 없이 식만 나열한 뒤 정확한 답을 구한 경우 최대 7점

45=1024\displaystyle 4^5=1024, 46=4096\displaystyle 4^6=4096이므로, ∫0anf(t)dt\displaystyle \int_0^{a_n}f(t)dt가 1000이상인 가장 작은 n\displaystyle n의 값은 3(−4)n−1+2>10000\displaystyle 3(-4)^{n-1}+2>10000 즉(−4)n−1>3332.6˙\displaystyle (-4)^{n-1}>3332.\dot6을 만족하는 n=7\displaystyle n=7이다. 따라서 ∫0xf(t)dt=1000\displaystyle \int_0^xf(t)dt=1000인 가장 작은 x\displaystyle x의 값은 구간 (a6,a7)\displaystyle (a_6,a_7)에 있다. 그러므로 k=6\displaystyle k=6.

+5점 · F(xn)=−(−4)n+15\displaystyle F(x_n)=\frac{-(-4)^n+1}5, G(xn)=2m(2n−1)2\displaystyle G(x_n)=2m(2^n-1)^2이다.

(3-4) F(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt라고 하면,그런데, F(xn)=∫0xnf(t)dt=1−4+42−⋯+(−4)n−1=(−4)n−1(−4)−1=−(−4)n+15\displaystyle F(x_n)=\int_0^{x_n}f(t)dt=1-4+4^2-\cdots+(-4)^{n-1}=\frac{(-4)^n-1}{(-4)-1}=\frac{-(-4)^n+1}5이고,G(x)=∫0xmt dt=12mx2\displaystyle G(x)=\int_0^xmt\,dt=\frac12mx^2이라고 하면, xn=2(1+2+⋯+2n−1)=2×2n−2\displaystyle x_n=2(1+2+\cdots+2^{n-1})=2\times2^n-2이므로 G(xn)=2m(2n−1)2\displaystyle G(x_n)=2m(2^n-1)^2이다.

+7점 · 제시문 (나)의 사이값 정리에 의하여 F(x)=G(x)\displaystyle F(x)=G(x)인 값이 모든 구간 (xn,xn+1)\displaystyle (x_n,x_{n+1})에 하나씩 존재한다.

이제, −110≤m≤110\displaystyle -\frac1{10}\le m\le\frac1{10}이라고 하면,n\displaystyle n이 홀수일 때 G(xn)=2m(2n−1)2=2m(4n−2×2n+1)<15(4n+1)=F(xn)\displaystyle G(x_n)=2m(2^n-1)^2=2m(4^n-2\times2^n+1)<\frac15(4^n+1)=F(x_n)이고n\displaystyle n이 짝수일 때 G(xn)=2m(2n−1)2=2m(4n−2×2n+1)>−15(4n−1)=F(xn)\displaystyle G(x_n)=2m(2^n-1)^2=2m(4^n-2\times2^n+1)>-\frac15(4^n-1)=F(x_n)이므로, 제시문 (나)의 사이값 정리에 의하여 F(x)=G(x)\displaystyle F(x)=G(x)인 값이 모든 구간 (xn,xn+1)\displaystyle (x_n,x_{n+1})에 하나씩 존재한다.

+3점 · 따라서 등식 ∫0x(f(t)−mt)dt=0\displaystyle \int_0^x(f(t)-mt)dt=0을 만족하는 양수 x\displaystyle x의 값은 무수히 많다.

따라서 등식 ∫0x(f(t)−mt)dt=0\displaystyle \int_0^x(f(t)-mt)dt=0을 만족하는 양수 x\displaystyle x의 값은 무수히 많다.

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