자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle C$의 방정식은 $\displaystyle x^2+z^2=\left(\frac{r\sqrt{4-r^2}}2\right)^2$, $\displaystyle y=\frac{r^2}2$이다. $\displaystyle C$ 위의 한 점을 $\displaystyle P(x_1,\frac{r^2}2,z_1)$라 하면 $\displaystyle P^{\prime}(x_1,0,z_1)$이고$\displaystyle |\overrightarrow{OP^{\prime}}|=\frac{r\sqrt{4-r^2}}2$, $\displaystyle |\overrightarrow{OQ}|=r$이므로 $\displaystyle k=\pm\frac2{\sqrt{4-r^2}}$이다.

(2-2) $\displaystyle \overrightarrow{OP}$와 $\displaystyle \overrightarrow{OQ}$ 사이의 각을 $\displaystyle \theta$ ($\displaystyle 0<\theta<\pi$)라 하면$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}-|\overrightarrow{PQ}|^2&=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OQ})-(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})\\&=16-2r^2+r^2\cos\theta-2r^2+2r^2\cos\theta=3r^2\cos\theta-4r^2+16\end{aligned}$이고 $\displaystyle \cos\theta$가 최대, 최소가 되는 경우는 $\displaystyle \overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP^{\prime}}$이므로 (2-1)에 의해$\displaystyle \cos\theta=\frac{|\overrightarrow{OP^{\prime}}|}{|\overrightarrow{OP}|}=\frac{|\overrightarrow{OQ}|}{k|\overrightarrow{OP}|}=\frac1k=\pm\frac{\sqrt{4-r^2}}2$이고 $\displaystyle -\frac{\sqrt{4-r^2}}2\le\cos\theta\le\frac{\sqrt{4-r^2}}2$따라서, 최댓값과 최솟값의 합은 $\displaystyle 32-8r^2$이다.

(2-3) (a) $\displaystyle \overrightarrow{OP^{\prime}}\perp\overrightarrow{OQ}$일 때, 삼각형 $\displaystyle OP^{\prime}Q$의 넓이가 최대이므로 $\displaystyle \triangle OP^{\prime}Q=\frac{r^2\sqrt{4-r^2}}4$이고 사면체 $\displaystyle OPQP^{\prime}$의 높이가 $\displaystyle |\overline{PP^{\prime}}|=\frac{r^2}2$이므로 사면체 $\displaystyle OPQP^{\prime}$의 부피$\displaystyle V(r)=\frac14\times(\text{삼각형 }OP^{\prime}Q\text{의 넓이})\times\frac{r^2}2=\frac{r^4\sqrt{4-r^2}}{24}$이다.

미분을 이용하여 사면체 $\displaystyle OPQP^{\prime}$의 부피가 최대가 되는 값은 $\displaystyle r=\frac4{\sqrt5}$이다.

(b) 사면체 $\displaystyle OPQP^{\prime}$의 부피가 최대가 될 때 삼각형 $\displaystyle OPQ$은 한 변의 길이가 $\displaystyle r$인 직각이등변삼각형이고 $\displaystyle \overrightarrow{OP^{\prime}}\perp\overrightarrow{OQ}$이므로 $\displaystyle \sin\alpha=\frac{|\overline{PP^{\prime}}|}{|\overrightarrow{OP}|}=\frac r2$이다. (2-3)(a)에 의해 $\displaystyle r=\frac4{\sqrt5}$이므로 $\displaystyle \sin\alpha=\frac4{2\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}5$이다.