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자연계열 2번

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인하대 2019학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2019su/jayeon_2

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문제

(가) 영벡터가 아닌 두 벡터 a⃗=(a1,a2,a3)\displaystyle \vec a=(a_1,a_2,a_3), b⃗=(b1,b2,b3)\displaystyle \vec b=(b_1,b_2,b_3)가 이루는 각의 크기를 θ\displaystyle \theta (0≤θ≤π\displaystyle 0\le\theta\le\pi)라고 할 때,a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=a1b1+a2b2+a3b3\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3

(나) 세 벡터 a⃗,b⃗,c⃗\displaystyle \vec a,\vec b,\vec c에 대하여 다음이 성립한다.a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2\displaystyle \vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2, a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗\displaystyle \vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c

(※) 아래 그림과 같이 두 개의 구S1:x2+y2+z2=r2\displaystyle S_1:x^2+y^2+z^2=r^2 (0<r<2\displaystyle 0<r<2), S2:x2+(y−1)2+z2=1\displaystyle S_2:x^2+(y-1)^2+z^2=1이 만나서 생기는 원을 C\displaystyle C라 하자. 원 C\displaystyle C 위의 점 P\displaystyle P에서 xz\displaystyle xz평면에 내린 수선의 발을 P′\displaystyle P^{\prime}이라 하고 원 x2+z2=r2,y=0\displaystyle x^2+z^2=r^2,y=0 위의 점을 Q\displaystyle Q라 하자. (단, O\displaystyle O는 원점이다.)

두 구의 교선 C와 점 P의 정사영

(2-1) OQ→=kOP′→\displaystyle \overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP^{\prime}}일 때, k\displaystyle k의 값을 r\displaystyle r에 대한 식으로 나타내시오. (10점)

(2-2) 점 A(0,4,0)\displaystyle A(0,4,0)에 대하여, AP→⋅AQ→−∣PQ→∣2\displaystyle \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}-|\overrightarrow{PQ}|^2의 최댓값과 최솟값의 합을 r\displaystyle r에 대한 식으로 나타내시오. (10점)

(2-3) 실수 r\displaystyle r (0<r<2\displaystyle 0<r<2)에 대하여, 사면체 OPQP′\displaystyle OPQP^{\prime}의 최대 부피를 V(r)\displaystyle V(r)이라 하자. (15점)(a) V(r)\displaystyle V(r)이 최대가 되는 r\displaystyle r의 값을 구하시오.(b) V(r)\displaystyle V(r)이 최대일 때, 세 점 O,P,Q\displaystyle O,P,Q를 포함하는 평면과 xz\displaystyle xz평면이 이루는 각 α\displaystyle \alpha에 대하여 sin⁡α\displaystyle \sin\alpha의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

인하대 2019학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2019su/jayeon_2

+5점 · C\displaystyle C 위의 한 점을 P(x1,r22,z1)\displaystyle P(x_1,\frac{r^2}2,z_1)라 하면 P′(x1,0,z1)\displaystyle P^{\prime}(x_1,0,z_1)이고 ∣OP′→∣=r4−r22\displaystyle |\overrightarrow{OP^{\prime}}|=\frac{r\sqrt{4-r^2}}2

(2-1) C\displaystyle C의 방정식은 x2+z2=(r4−r22)2\displaystyle x^2+z^2=\left(\frac{r\sqrt{4-r^2}}2\right)^2, y=r22\displaystyle y=\frac{r^2}2이다. C\displaystyle C 위의 한 점을 P(x1,r22,z1)\displaystyle P(x_1,\frac{r^2}2,z_1)라 하면 P′(x1,0,z1)\displaystyle P^{\prime}(x_1,0,z_1)이고∣OP′→∣=r4−r22\displaystyle |\overrightarrow{OP^{\prime}}|=\frac{r\sqrt{4-r^2}}2,

+5점 · 부호 하나 빠지면 -2점

∣OQ→∣=r\displaystyle |\overrightarrow{OQ}|=r이므로 k=±24−r2\displaystyle k=\pm\frac2{\sqrt{4-r^2}}이다.

+3점 · AP→⋅AQ→−∣PQ→∣2=(AO→+OP→)⋅(AO→+OQ→)−(OQ→−OP→)⋅(OQ→−OP→)\displaystyle \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}-|\overrightarrow{PQ}|^2=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OQ})-(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})
+3점 · =16−2r2+r2cos⁡θ−2r2+2r2cos⁡θ=3r2cos⁡θ−4r2+16\displaystyle =16-2r^2+r^2\cos\theta-2r^2+2r^2\cos\theta=3r^2\cos\theta-4r^2+16

Caution. 식을 길이나 넓이로 해석할 때는 그 값이 음이 아닌지 확인해야 한다: 길이의 비는 음이 아니지만, 두 벡터가 이루는 각의 코사인은 음수가 될 수 있다. 이 문제에서 OQ→=kOP′→\displaystyle \overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP^{\prime}}일 때 길이의 비는 ∣OP′→∣/∣OP→∣=1/∣k∣\displaystyle |\overrightarrow{OP^{\prime}}|/|\overrightarrow{OP}|=1/|k|이다. 최솟값을 구하는 경우에는 k<0\displaystyle k<0이므로 cos⁡θ=−∣OP′→∣/∣OP→∣=1/k\displaystyle \cos\theta=-|\overrightarrow{OP^{\prime}}|/|\overrightarrow{OP}|=1/k이다. 대학 답안의 마지막 범위와 최종 답은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2-2) OP→\displaystyle \overrightarrow{OP}와 OQ→\displaystyle \overrightarrow{OQ} 사이의 각을 θ\displaystyle \theta (0<θ<π\displaystyle 0<\theta<\pi)라 하면AP→⋅AQ→−∣PQ→∣2=(AO→+OP→)⋅(AO→+OQ→)−(OQ→−OP→)⋅(OQ→−OP→)=16−2r2+r2cos⁡θ−2r2+2r2cos⁡θ=3r2cos⁡θ−4r2+16\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}-|\overrightarrow{PQ}|^2&=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OQ})-(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})\cdot(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})\\&=16-2r^2+r^2\cos\theta-2r^2+2r^2\cos\theta=3r^2\cos\theta-4r^2+16\end{aligned}이고 cos⁡θ\displaystyle \cos\theta가 최대, 최소가 되는 경우는 OQ→=kOP′→\displaystyle \overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP^{\prime}}이므로 (2-1)에 의해cos⁡θ=∣OP′→∣∣OP→∣=∣OQ→∣k∣OP→∣=1k=±4−r22\displaystyle \cos\theta=\frac{|\overrightarrow{OP^{\prime}}|}{|\overrightarrow{OP}|}=\frac{|\overrightarrow{OQ}|}{k|\overrightarrow{OP}|}=\frac1k=\pm\frac{\sqrt{4-r^2}}2이고 −4−r22≤cos⁡θ≤4−r22\displaystyle -\frac{\sqrt{4-r^2}}2\le\cos\theta\le\frac{\sqrt{4-r^2}}2

+4점

따라서, 최댓값과 최솟값의 합은 32−8r2\displaystyle 32-8r^2이다.

+5점 · V(r)=13×(삼각형 OP′Q의 넓이)×r22=r44−r224\displaystyle V(r)=\frac13\times(\text{삼각형 }OP^{\prime}Q\text{의 넓이})\times\frac{r^2}2=\frac{r^4\sqrt{4-r^2}}{24}이다.

(2-3) (a) OP′→⊥OQ→\displaystyle \overrightarrow{OP^{\prime}}\perp\overrightarrow{OQ}일 때, 삼각형 OP′Q\displaystyle OP^{\prime}Q의 넓이가 최대이므로 △OP′Q=r24−r24\displaystyle \triangle OP^{\prime}Q=\frac{r^2\sqrt{4-r^2}}4이고 사면체 OPQP′\displaystyle OPQP^{\prime}의 높이가 ∣PP′‾∣=r22\displaystyle |\overline{PP^{\prime}}|=\frac{r^2}2이므로 사면체 OPQP′\displaystyle OPQP^{\prime}의 부피V(r)=13×(삼각형 OP′Q의 넓이)×r22=r44−r224\displaystyle V(r)=\frac13\times(\text{삼각형 }OP^{\prime}Q\text{의 넓이})\times\frac{r^2}2=\frac{r^4\sqrt{4-r^2}}{24}이다.

+5점

미분을 이용하여 사면체 OPQP′\displaystyle OPQP^{\prime}의 부피가 최대가 되는 값은 r=45\displaystyle r=\frac4{\sqrt5}이다.

+3점 · sin⁡α=∣PP′‾∣∣OP→∣=r2\displaystyle \sin\alpha=\frac{|\overline{PP^{\prime}}|}{|\overrightarrow{OP}|}=\frac r2이다.

(b) 사면체 OPQP′\displaystyle OPQP^{\prime}의 부피가 최대가 될 때 삼각형 OPQ\displaystyle OPQ은 한 변의 길이가 r\displaystyle r인 직각이등변삼각형이고 OP′→⊥OQ→\displaystyle \overrightarrow{OP^{\prime}}\perp\overrightarrow{OQ}이므로 sin⁡α=∣PP′‾∣∣OP→∣=r2\displaystyle \sin\alpha=\frac{|\overline{PP^{\prime}}|}{|\overrightarrow{OP}|}=\frac r2이다.

+2점

(2-3)(a)에 의해 r=45\displaystyle r=\frac4{\sqrt5}이므로 sin⁡α=425=255\displaystyle \sin\alpha=\frac4{2\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}5이다.

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