자연계열 (오후) 3번

(3-1) 점 $\displaystyle (t,0,0)$에서 $\displaystyle (0,2,5)$까지의 거리를 $\displaystyle r_1(t)=\sqrt{t^2+2^2+5^2}=\sqrt{t^2+29}$,점 $\displaystyle (t,0,0)$에서 $\displaystyle (3,1,1)$까지의 거리를 $\displaystyle r_2(t)=\sqrt{(t-3)^2+1^2+1^2}=\sqrt{t^2-6t+11}$이라 하면,$\displaystyle r_1(t),r_2(t)$는 각각 실수전체의 집합에서 미분가능한 함수이다.$\displaystyle r_1(t)>r_2(t)$일 때는 $\displaystyle f(t)=r_2(t)-1$, $\displaystyle r_1(t)<r_2(t)$일 때는 $\displaystyle f(t)=r_1(t)-1$이므로,$\displaystyle f(t)$가 미분가능하지 않은 $\displaystyle t$의 값에서 등식 $\displaystyle r_1(t)=r_2(t)$가 성립해야 한다.

$\displaystyle \sqrt{t^2+29}=\sqrt{t^2-6t+11}$에서 $\displaystyle 6t=-18$, 즉 $\displaystyle t=-3$을 얻는다.

실제로 $\displaystyle \lim_{t\to-3^-}\frac{f(t)-f(-3)}{t-(-3)}=-\frac3{\sqrt{38}}$, $\displaystyle \lim_{t\to-3^+}\frac{f(t)-f(-3)}{t-(-3)}=-\frac6{\sqrt{38}}$은 서로 다른 값이므로, 제시문 (가)에 의하여 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=-3$에서 미분가능하지 않다.

(3-2) 점 $\displaystyle A(a,b,c)$에서 $\displaystyle xy$평면에 수선을 내리면 점 $\displaystyle (a,b,0)$이 되고, $\displaystyle xy$평면에서 점 $\displaystyle (a,b,0)$과 주어진 직선 $\displaystyle y-kx=0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|ka-b|}{\sqrt{k^2+1}}$이다. 제시문 (다) 삼수선의 정리에 의하여,

선분 $\displaystyle AH$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{\frac{(ka-b)^2}{k^2+1}+c^2}$이 된다.

(3-3) 점 $\displaystyle (t,t,0)$에서 $\displaystyle A_1(0,2,5)$까지의 거리와 $\displaystyle A_2(3,1,1)$까지의 거리를 각각 $\displaystyle r_1(t),r_2(t)$라 하면,$\displaystyle r_1(t)\ge r_2(t)$일 때 $\displaystyle f(t)=r_2(t)-1$, $\displaystyle g(t)=r_1(t)+1$이고 $\displaystyle r_1(t)<r_2(t)$일 때 $\displaystyle f(t)=r_1(t)-1$, $\displaystyle g(t)=r_2(t)+1$이므로 등식 $\displaystyle h(t)=f(t)+g(t)=r_1(t)+r_2(t)$가 성립한다.점 $\displaystyle (t,t,0)$에서 $\displaystyle A_1$까지의 거리는 $\displaystyle A_1$을 직선 $\displaystyle l$을 회전축으로 하여 회전시킨 임의의 점까지의 거리와 같고, 마찬가지로 점 $\displaystyle (t,t,0)$에서 $\displaystyle A_2$까지의 거리는 $\displaystyle A_2$를 직선 $\displaystyle l$을 회전축으로 하여 회전시킨 임의의 점까지의 거리와 같다.

점 $\displaystyle A_1$과 점 $\displaystyle A_2$에서 직선 $\displaystyle l=\{(t,t,0)\mid t\text{는 실수}\}$에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle H_1,H_2$라고 하면, $\displaystyle H_1,H_2$의 좌표는 각각 $\displaystyle (1,1,0)$, $\displaystyle (2,2,0)$이다. $\displaystyle A_1$과 $\displaystyle H_1$의 거리는 제시문 (다) 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle \sqrt{\sqrt2^2+5^2}=3\sqrt3$이고, $\displaystyle A_2$와 $\displaystyle H_2$와의 거리는 $\displaystyle \sqrt{\sqrt2^2+1^2}=\sqrt3$이다. 이제, $\displaystyle l$을 중심축으로 하는 회전을 이용하여, 두 점 $\displaystyle A_1$과 $\displaystyle A_2$를 적당히 회전시켜 $\displaystyle xy$평면에 있고 $\displaystyle l$을 기준으로 서로 다른 반평면에 위치한 두 점 $\displaystyle A_1^{\prime},A_2^{\prime}$으로 대체할 수 있다. 그러면, 점 $\displaystyle (t,t,0)$이 직선 $\displaystyle A_1^{\prime}A_2^{\prime}$와 직선 $\displaystyle l$의 교점일 때 $\displaystyle h(t)$는 최솟값을 가지게 되고,

그 최솟값은 $\displaystyle \overline{A_1^{\prime}A_2^{\prime}}=\sqrt{(\overline{A_1^{\prime}H_1}+\overline{A_2^{\prime}H_2})^2+\overline{H_1H_2}^{\,2}}=\sqrt{(3\sqrt3+\sqrt3)^2+\sqrt2^2}=5\sqrt2$이다.

(3-4) 위 (3-3)의 풀이에서 $\displaystyle h(t)$은 점 $\displaystyle (t,kt,0)$에서 두 점 $\displaystyle A_1(0,2,5)$, $\displaystyle A_2(3,1,1)$까지의 거리의 합이다. 이 두 점 $\displaystyle A_1,A_2$까지의 거리의 합이 최소가 되는 $\displaystyle xy$평면위의 점은 $\displaystyle A_2$를 $\displaystyle xy$평면에 대칭이동시킨 점 $\displaystyle A_2^{\prime}(3,1,-1)$과 $\displaystyle A_1(0,2,5)$을 잇는 직선이 $\displaystyle xy$평면과 만나는 점 $\displaystyle B$이다.

이 직선의 방정식은 $\displaystyle (x,y,z)=(0,2,5)+s(3,-1,-6)$ ($\displaystyle s$는 실수)이고, $\displaystyle s=\frac56$일 때 점 $\displaystyle B\left(\frac52,\frac76,0\right)$을 얻는다.직선 $\displaystyle \{(t,kt,0)\mid t\text{는 실수}\}$가 점 $\displaystyle B$를 지나려면, $\displaystyle k=\frac7{15}$이어야 한다.