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자연계열 (오후) 2번

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인하대 2019학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2019su/jayeon_pm_2

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문제

(가) 실수 a,b,c\displaystyle a,b,c에 대하여 b≤c\displaystyle b\le c이면 a+b≤a+c\displaystyle a+b\le a+c이다.

(나) a>0\displaystyle a>0, b>0\displaystyle b>0일 때,a>b⟺a2>b2\displaystyle a>b\Longleftrightarrow a^2>b^2이다.

(다) 임의의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 부등식k2≤n<(k+1)2\displaystyle k^2\le n<(k+1)^2을 만족하는 자연수 k\displaystyle k가 유일하게 존재한다.

(※) 자연수 n\displaystyle n에 대하여 k\displaystyle k를 k2≤n<(k+1)2\displaystyle k^2\le n<(k+1)^2을 만족하는 자연수라 하고, r=n−k2\displaystyle r=n-k^2이라 하자.

(2-1) 부등식n≤k+r2k≤n+1\displaystyle \sqrt n\le k+\frac r{2k}\le\sqrt{n+1}이 성립함을 보이시오. (10점)

(2-2) 부등식n≤k+r+12(k+1)≤n+1\displaystyle \sqrt n\le k+\frac{r+1}{2(k+1)}\le\sqrt{n+1}이 성립함을 보이시오. (10점)

(2-3) 임의의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 다음 부등식을 만족하는 자연수 p,q\displaystyle p,q가 존재함을 보이시오. (10점)n≤pq≤n+1\displaystyle \sqrt n\le\frac pq\le\sqrt{n+1}　(단, q<n+1\displaystyle q<\sqrt n+1)

해설강의 준비중

인하대 2019학년도 수시 자연계열 (오후) 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2019su/jayeon_pm_2

+3점

(2-1) (k+r2k)2=k2+r+r24k2≥k2+r=n\displaystyle \left(k+\frac r{2k}\right)^2=k^2+r+\frac{r^2}{4k^2}\ge k^2+r=n이므로 제시문 (나)에 의하여k+r2k≥n\displaystyle k+\frac r{2k}\ge\sqrt n이다.

+4점

또한 r=n−k2<(k+1)2−k2=2k+1\displaystyle r=n-k^2<(k+1)^2-k^2=2k+1이므로 r≤2k\displaystyle r\le2k이다.

+3점 · (k+r2k)2≤k2+r+1=n+1\displaystyle \left(k+\frac r{2k}\right)^2\le k^2+r+1=n+1이고 k+r2k≤n+1\displaystyle k+\frac r{2k}\le\sqrt{n+1}이다.

따라서(k+r2k)2=k2+r+r24k2≤k2+r+1=n+1\displaystyle \left(k+\frac r{2k}\right)^2=k^2+r+\frac{r^2}{4k^2}\le k^2+r+1=n+1이고 k+r2k≤n+1\displaystyle k+\frac r{2k}\le\sqrt{n+1}이다.

+6점 · (k+r+12(k+1))2−n=(r−2k−1)24(k+1)2≥0\displaystyle \left(k+\frac{r+1}{2(k+1)}\right)^2-n=\frac{(r-2k-1)^2}{4(k+1)^2}\ge0이므로 k+r+12(k+1)≥n\displaystyle k+\frac{r+1}{2(k+1)}\ge\sqrt n이다.

(2-2) n=k2+r\displaystyle n=k^2+r이므로 다음을 얻는다.(k+r+12(k+1))2−n=(k+r+12(k+1))2−k2−r=r+12(k+1)(2k+r+12(k+1))−r=r2−2(2k+1)r+(4k2+4k+1)4(k+1)2=(r−2k−1)24(k+1)2≥0\displaystyle \begin{aligned}\left(k+\frac{r+1}{2(k+1)}\right)^2-n&=\left(k+\frac{r+1}{2(k+1)}\right)^2-k^2-r=\frac{r+1}{2(k+1)}\left(2k+\frac{r+1}{2(k+1)}\right)-r\\&=\frac{r^2-2(2k+1)r+(4k^2+4k+1)}{4(k+1)^2}=\frac{(r-2k-1)^2}{4(k+1)^2}\ge0\end{aligned}따라서 제시문 (나)에 의하여 k+r+12(k+1)≥n\displaystyle k+\frac{r+1}{2(k+1)}\ge\sqrt n이다.

+4점 · (k+r+12(k+1))2−n−1=(r−4k−3)(r+1)4(k+1)2≤0\displaystyle \left(k+\frac{r+1}{2(k+1)}\right)^2-n-1=\frac{(r-4k-3)(r+1)}{4(k+1)^2}\le0이므로 k+r+12(k+1)≤n+1\displaystyle k+\frac{r+1}{2(k+1)}\le\sqrt{n+1}이 성립한다.

또한, (2-1)에서 r≤2k\displaystyle r\le2k임을 보였으므로(k+r+12(k+1))2−n−1=(r−2k−1)24(k+1)2−1=(r−4k−3)(r+1)4(k+1)2≤0\displaystyle \left(k+\frac{r+1}{2(k+1)}\right)^2-n-1=\frac{(r-2k-1)^2}{4(k+1)^2}-1=\frac{(r-4k-3)(r+1)}{4(k+1)^2}\le0이다. 따라서 제시문 (나)에 의하여 k+r+12(k+1)≤n+1\displaystyle k+\frac{r+1}{2(k+1)}\le\sqrt{n+1}이 성립한다.

+10점 · 짝수와 홀수로 나누어 생각하면 2점, 올바른 p,q\displaystyle p,q를 모두 찾으면 8점

Correction. r\displaystyle r이 짝수인 경우에 사용하는 것은 (2-2)가 아니라 (2-1)의 부등식이다. 뒤의 p\displaystyle p, q\displaystyle q와 부등식은 맞다.

(2-3) 주어진 자연수 n\displaystyle n에 대하여 r\displaystyle r이 짝수이면 (2-2)의 부등식에 의해n≤k2+r2k≤n+1\displaystyle \sqrt n\le\frac{k^2+\frac r2}{k}\le\sqrt{n+1}이므로 p=k2+r2\displaystyle p=k^2+\frac r2, q=k\displaystyle q=k로 잡으면 주어진 두 부등식을 만족한다.주어진 자연수 n\displaystyle n에 대하여 r\displaystyle r이 홀수이면 (2-2)의 부등식에 의해n≤k(k+1)+r+12k+1≤n+1\displaystyle \sqrt n\le\frac{k(k+1)+\frac{r+1}2}{k+1}\le\sqrt{n+1}이므로 p=k(k+1)+r+12\displaystyle p=k(k+1)+\frac{r+1}2, q=k+1\displaystyle q=k+1로 잡으면 주어진 두 부등식을 만족한다.

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