자연계열 1번

[논제 I-(1)]

확률변수 $\displaystyle Y$는 $\displaystyle H$의 한 점에서 직선 $\displaystyle y = 0 , y = 1$까지의 거리 중 최솟값이므로 $\displaystyle 0 \leq Y \leq 1 / 2$이다. 사건 $\displaystyle A$, 즉 선분 $\displaystyle N$이 두 경계선 중 가까운 것과 만날 조건은 선분 반쪽의 $\displaystyle y$축에 대한 정사영의 길이 $\displaystyle \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$가 $\displaystyle Y$보다 큰 것이다. 즉, 사건 $\displaystyle A$를 확률변수 $\displaystyle Y$로 표현하면 $\displaystyle 0 \leq Y \leq \sqrt{3} / 4$이고, 제시문 [가]에 의하여 $\displaystyle P ( A ) = \frac{\sqrt{3}}{4} / \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$이다.

[논제 I-(2)]

논제(1)과 마찬가지로 $\displaystyle 0 \leq Y \leq 1 / 2$이고 선분 반쪽의 $\displaystyle y$축에 대한 정사영의 길이가 $\displaystyle Y$보다 크면 선분은 경계선과 교차한다. 즉, 사건 $\displaystyle B$는 $\displaystyle n = 0 , 1 , \cdots , 5$에 대하여 $\displaystyle \theta = n \pi / 6$일 때 $\displaystyle 0 \leq Y \leq \frac{1}{2} \sin \theta$인 것이다. $\displaystyle \theta$가 여섯 개의 각도를 균일한 확률로 갖는다고 했으므로 각각의 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle \theta = \frac{{n \pi}}{6}$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{6}$이고, 제시문 [가]에 의하여 $\displaystyle P \left( 0 \leq Y \leq \frac{1}{2} \sin \theta \right) = \sin \theta$이다. 또한 $\displaystyle \theta$가 서로 다른 각도를 갖는 것은 배반 사건이고, $\displaystyle \theta$가 특정한 값을 갖는 것과 $\displaystyle Y \in \left[ 0 , \frac{1}{2} \sin \theta \right]$인 것은 독립이므로 (선분 중심의 위치는 $\displaystyle \theta$에 영향을 받지 않음) 확률의 덧셈정리와 곱셈정리에 의하여 $\displaystyle P ( B ) = \sum_{n = 0}^{5} \frac{1}{6} \left( \sin \frac{{n \pi}}{6} \right) = \frac{{2 + \sqrt{3}}}{6}$이다.

[논제 I-(3)]

선분의 중심에서 수평선까지의 거리 $\displaystyle Y$는 여전히 $\displaystyle 0 \leq Y \leq 1 / 2$이고, 선분 반쪽의 $\displaystyle y$축에 대한 정사영의 길이가 $\displaystyle Y$보다 크면 선분은 수평선 $\displaystyle y = 0$또는 $\displaystyle y = 1$과 교차한다. 이번에는 선분 $\displaystyle M$의 길이가 2이므로 $\displaystyle 0 \leq Y \leq \sin \theta$인 것이 주어진 $\displaystyle \theta$에 대하여 선분과 수평선이 교점을 가질 $\displaystyle Y$의 조건이다. 전체 $\displaystyle \theta$의 범위 $\displaystyle [ 0 , \pi )$를 $\displaystyle 0 = \theta_{0} < \theta_{1} < \cdots < \theta_{n} = \pi$와 같이 $\displaystyle n$등분하면, $\displaystyle \Delta \theta = \pi / n$에 대하여 $\displaystyle \theta$가 $\displaystyle \theta \in [ \theta_{k} , \theta_{k+1} ]$일 확률은 $\displaystyle \Delta \theta / \pi$이다. 이 때 $\displaystyle Y$가 $\displaystyle 0 \leq Y \leq \sin \theta_{k}$이면 선분이 교점을 갖는 것이므로 그 확률은 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sum_{k = 1}^{n}} P ( 0 \leq Y \leq \sin \theta_{k} ) \Delta \theta / \pi = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} {P ( 0 \leq Y \leq \sin \theta ) d \theta}$이다. 여기서 $\displaystyle \theta$의 값에 따라 $\displaystyle \sin \theta \geq 1 / 2$일 수 있음에 유의하자. $\displaystyle 0 \leq \theta \leq \pi / 6$또는 $\displaystyle 5 \pi / 6 \leq \theta \leq \pi$에서는 $\displaystyle P ( 0 \leq Y \leq \sin \theta ) = 2 \sin \theta$이고, $\displaystyle \pi / 6 \leq \theta \leq 5 \pi / 6$에서는$\displaystyle P ( 0 \leq Y \leq \sin \theta ) = 1$이다. 따라서 확률은 $\displaystyle \frac{1}{\pi} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} {2 \sin \theta d \theta + \int_{\frac{\pi}{6}}^{5 \frac{\pi}{6}} {1 d \theta} + \int_{5 \frac{\pi}{6}}^{\pi} {2 \sin \theta d \theta}} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{\pi} ( 2 - \sqrt{3} )$이다.Correction. 구간을 $\displaystyle [\theta_k,\theta_{k+1}]$로 쓰면 첨자는 $\displaystyle k=0,\ldots,n-1$이다. 합을 $\displaystyle k=1,\ldots,n$으로 쓰려면 구간을 $\displaystyle [\theta_{k-1},\theta_k]$로 맞추면 된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[논제 I-(4)]

선분의 중심에서 수직선까지의 거리 $\displaystyle X$는 $\displaystyle 0 \leq X \leq 1 / 2$이고, 선분 반쪽의 $\displaystyle x$축에 대한 정사영의 길이가 $\displaystyle X$보다 크면 선분은 수직선 $\displaystyle x = 0$또는 $\displaystyle x = 1$과 교차한다. 즉 $\displaystyle 0 \leq X \leq \frac{1}{2} | \cos \theta |$인 것이 주어진$\displaystyle \theta$에 대하여 선분과 수직선이 교점을 가질 $\displaystyle X$의 조건이다. 정사각형 $\displaystyle G$의 네 변 중 적어도 한 변과 교차할 확률이므로 어느 변과도 교차하지 않는다는 것은 주어진 $\displaystyle \theta$에 대하여 동시에 $\displaystyle X > \frac{1}{2} | \cos \theta |$이고 $\displaystyle Y > \frac{1}{2} \sin \theta$인 것이다. 즉, $\displaystyle X$가 전체 범위 $\displaystyle \left[ 0 , \frac{1}{2} \right]$중에서 $\displaystyle \left[ \frac{1}{2} | \cos \theta | , \frac{1}{2} \right]$에 속하고 $\displaystyle Y$는 전체 범위 $\displaystyle \left[ 0 , \frac{1}{2} \right]$중에서 $\displaystyle \left[ \frac{1}{2} \sin \theta , \frac{1}{2} \right]$에 속하는 것이다. 따라서 이 확률은 $\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} {( 1 - \sin \theta ) ( 1 - | \cos \theta | ) d \theta = 1 - \frac{3}{\pi}}$이고, 논제에서 요구하는 확률은 $\displaystyle \frac{3}{\pi}$이다.