수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

경희대 2017학년도 온라인 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2017mo_online/jayeon_1

배점60점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

I. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. (60점)

[가] 주사위나 동전을 던지는 것과 같이 같은 조건에서 몇 번이고 반복할 수 있으며 그 결과가 우연에 의해서 정해지는 실험이나 관찰을 시행이라고 한다. 또 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 표본공간이라 하고, 표본공간의 부분집합을 사건이라고 한다. 어떤 시행에서 사건A\displaystyle A가 일어날 확률을 기호로 P(A)\displaystyle P ( A )로 나타내고 표본공간 S\displaystyle S가 유한집합이면 P(A)=n(A)/n(S)\displaystyle P ( A ) = n ( A ) / n ( S )이다.

표본공간 S\displaystyle S의 두 사건 A,B\displaystyle A , B에 대하여 A,B\displaystyle A , B가 동시에 일어나지 않을 때 이 두 사건을 배반사건이라 하고, P(A∪B)=P(A)+P(B)\displaystyle P ( A \cup B ) = P ( A ) + P ( B )이다. 두 사건 A,B\displaystyle A , B에 대하여 한 사건이 일어나는 것이 다른 사건이 일어날 확률에 아무런 영향을 주지 않을 때 두 사건은 서로 독립이라 하고, P(A∩B)=P(A)P(B)\displaystyle P ( A \cap B ) = P ( A ) P ( B )이다.

어떤 시행에서 표본공간의 각 원소에 하나의 실수의 값을 대응시키는 것을 확률변수라고 한다. 특히 어떤 범위 안에 속하는 모든 실수의 값을 가지는 확률변수를 연속확률변수라고 한다. 범위 α≤x≤β\displaystyle \alpha \leq x \leq \beta에 속하는 모든 실수의 값을 가지는 연속확률변수 X\displaystyle X가 a\displaystyle a이상 b\displaystyle b이하의 값을 (α≤a≤b≤β)\displaystyle ( \alpha \leq a \leq b \leq \beta )가질 확률 P(a≤X≤b)\displaystyle P ( a \leq X \leq b )가 어떤 함수 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )의 (f(x)≥0)\displaystyle ( f ( x ) \geq 0 )그래프와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=a,\displaystyle x = a , x=b\displaystyle x = b로 둘러싸인 부분의 넓이와 같을 때, 함수 f(x)\displaystyle f ( x )를 연속확률변수 X\displaystyle X의 확률밀도함수라고 한다. 만약 X\displaystyle X가 범위 α≤x≤β\displaystyle \alpha \leq x \leq \beta에 속하는 각각의 실수의 값을 같은 정도로 가질 수 있다면 그 확률밀도함수는 f(x)=1/(β−α)\displaystyle f ( x ) = 1 / ( \beta - \alpha )이고 따라서 P(a≤X≤b)=(b−a)/(β−α)\displaystyle P ( a \leq X \le b ) = ( b - a ) / ( \beta - \alpha )이다.

[나] 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속이고 f(x)≥0\displaystyle f ( x ) \geq 0일 때, 구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]를 n\displaystyle n등분하여 양 끝점과 각 분점의 x\displaystyle x좌표를 차례대로 a=x0,x1,⋯ ,xn=b\displaystyle a = x_{0} , x_{1} , \cdots , x_{n} = b라고 하자. 또 각 소구간의 길이를 Δx\displaystyle \Delta x라고 하면 Δx=(b−a)/n\displaystyle \Delta x = ( b - a ) / n, xk=a+kΔx\displaystyle x_{k} = a + k \Delta x (k=0,1,⋯ ,n)\displaystyle ( k = 0 , 1 , \cdots , n )이다. 이때 Sn=∑k=1nf(xk)Δx\displaystyle S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} f ( x_{k} ) \Delta x라고 하면, n\displaystyle n이 커질 때 Sn\displaystyle S_{n}의 극한값은 곡선 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=a,x=b\displaystyle x = a , x = b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S와 같으므로 S=lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx\displaystyle S = \lim_{n \to \infty} {S_{n} = \lim_{n \to \infty} {\sum_{k = 1}^{n} f ( x_{k} ) \Delta x}}가 성립한다. 일반적으로 함수 f(x)\displaystyle f ( x )가 구간 [a,b]\displaystyle [ a , b ]에서 연속이면 이 극한값이 항상 존재함이 알려져 있고 이것을 함수 f(x)\displaystyle f ( x )의 a\displaystyle a에서 b\displaystyle b까지의 정적분이라고 하며, 기호로 ∫abf(x)dx\displaystyle \int_{a}^{b} {f ( x ) d x}로 나타낸다.

[다] 18세기 프랑스의 수학자 뷔퐁(Buffon;1707~1788)은 다음과 같은 문제를 제기하였다. “평행선이 일정한 간격으로 그려져 있는 바닥에 바늘을 임의로 떨어뜨렸을 때, 바늘이 평행선과 만날 확률은 얼마인가?” 이 문제는 ‘뷔퐁의 바늘 문제’로 널리 알려져 있으며, 뷔퐁은 이 문제에서 바늘의 길이를 L\displaystyle L, 평행선 사이의 거리를 d\displaystyle d로 놓았을 때, L≤d\displaystyle L \leq d이면 바늘이 평행선과 만날 확률이 2Lπd\displaystyle \frac{2L}{\pi d}임을 알아내었다.

여기서, 뷔퐁이 구한 확률은 수학적 확률이다. 따라서 시행 횟수가 충분히 클 때, 상대도수가 수학적 확률과 가까워진다는 사실을 이용하면 바늘을 던져 보는 실험만으로 원주율 π\displaystyle \pi의 값을 추측할 수 있다. 즉, 바늘을 많이 던져 보는 실험을 하여 바늘이 평행선과 만날 상대도수를 구하고, 이것을 수학적 확률인 2Lπd\displaystyle \frac{2L}{\pi d}과 같다고 하면 π\displaystyle \pi의 값을 대략적으로 구할 수 있다.

<논제Ⅰ> 제시문 [가], [나], [다]를 읽고 다음 질문에 답하시오. [60점]

(1) 길이가 1인 선분 N\displaystyle N을 평면 위에 임의로 던질 때, 이 선분과 교점을 갖는 수평선 y=k\displaystyle y = k의 (k\displaystyle k는 정수) 존재 여부는 평면 위에 떨어진 선분N\displaystyle N의 위치와 방향에 따라 결정된다. 문제를 단순화하여 선분 N\displaystyle N이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각도 θ\displaystyle \theta가 항상 π/3\displaystyle \pi / 3로 고정되어있고, 선분의 중심 C\displaystyle C는 영역 H={(x,y)∣0≤y≤1}\displaystyle H = \left\{ ( x , y ) | 0 \leq y \leq 1 \right\}에만 임의로 떨어진다고 하자. 확률변수 Y\displaystyle Y를 점 C\displaystyle C로부터 H\displaystyle H의 두 경계선까지의 거리 중에 크지 않은 값이라 하고, 선분 N\displaystyle N이 영역 H\displaystyle H의 두 경계선 중 적어도 하나와 교점을 갖는 것을 사건 A\displaystyle A라 하자. 사건 A\displaystyle A가 일어날 확률변수 Y\displaystyle Y의 범위를 구하고, 확률 P(A)\displaystyle P ( A )를 구하시오. (15점)

(2) 논제 (1)의 선분 N\displaystyle N이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각도 θ\displaystyle \theta가 nπ/6\displaystyle n \pi / 6중 (n=0,1,⋯ ,5)\displaystyle ( n = 0 , 1 , \cdots , 5 )하나를 균일한 확률로 갖고, 영역 H\displaystyle H에만 떨어지는 중심 C\displaystyle C의 위치는 θ\displaystyle \theta의 값에 영향을 받지 않는다고 하자. 선분 N\displaystyle N이 영역 H\displaystyle H의 두 경계선 중 적어도 하나와 교점을 갖는 사건 B\displaystyle B의 확률 P(B)\displaystyle P ( B )를 구하시오. (15점)

(3) 길이가 2인 선분 M\displaystyle M을 평면 위에 임의로 던질 때, 선분 M\displaystyle M이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각도 θ\displaystyle \theta가 [0,π)\displaystyle [ 0 , \pi )에 속하는 임의의 실수 값을 균일한 확률로 갖고, 선분 M\displaystyle M의 중심 D\displaystyle D는 영역 H={(x,y)∣0≤y≤1}\displaystyle H = \left\{ ( x , y ) | 0 \leq y \leq 1 \right\}에만 임의로 떨어진다고 하자. 중심 D\displaystyle D의 위치는 θ\displaystyle \theta의 값에 영향을 받지 않는다고 할 때, 선분 M\displaystyle M이 영역 H\displaystyle H의 두 경계선 중 적어도 하나와 교점을 가질 확률을 구하시오. (15점)

(4) 이번에는 수평선 뿐 만 아니라 수직선과의 교점도 같이 생각해 보자. 다시 길이가 1인 선분 N\displaystyle N을 평면 위에 던질 때, 그 중심 C\displaystyle C는 영역 G={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤1}\displaystyle G = \left\{ ( x , y ) | 0 \leq x \leq 1 , 0 \leq y \leq 1 \right\}에만 임의로 떨어진다고 하자. 선분 N\displaystyle N이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각도 θ\displaystyle \theta가 [0,π)\displaystyle [ 0 , \pi )에 속하는 임의의 실수 값을 균일한 확률로 갖고, 중심 C\displaystyle C의 위치는 θ\displaystyle \theta의 값에 영향을 받지 않는다고 하자. 선분 N\displaystyle N이 정사각형 G\displaystyle G의 네변 중 적어도 하나와 교점을 가질 확률을 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

경희대 2017학년도 온라인 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2017mo_online/jayeon_1

[논제 I-(1)]

확률변수 Y\displaystyle Y는 H\displaystyle H의 한 점에서 직선 y=0,y=1\displaystyle y = 0 , y = 1까지의 거리 중 최솟값이므로 0≤Y≤1/2\displaystyle 0 \leq Y \leq 1 / 2이다. 사건 A\displaystyle A, 즉 선분 N\displaystyle N이 두 경계선 중 가까운 것과 만날 조건은 선분 반쪽의 y\displaystyle y축에 대한 정사영의 길이 12sin⁡π3=34\displaystyle \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4}가 Y\displaystyle Y보다 큰 것이다. 즉, 사건 A\displaystyle A를 확률변수 Y\displaystyle Y로 표현하면 0≤Y≤3/4\displaystyle 0 \leq Y \leq \sqrt{3} / 4이고, 제시문 [가]에 의하여 P(A)=34/12=32\displaystyle P ( A ) = \frac{\sqrt{3}}{4} / \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}이다.

[논제 I-(2)]

논제(1)과 마찬가지로 0≤Y≤1/2\displaystyle 0 \leq Y \leq 1 / 2이고 선분 반쪽의 y\displaystyle y축에 대한 정사영의 길이가 Y\displaystyle Y보다 크면 선분은 경계선과 교차한다. 즉, 사건 B\displaystyle B는 n=0,1,⋯ ,5\displaystyle n = 0 , 1 , \cdots , 5에 대하여 θ=nπ/6\displaystyle \theta = n \pi / 6일 때 0≤Y≤12sin⁡θ\displaystyle 0 \leq Y \leq \frac{1}{2} \sin \theta인 것이다. θ\displaystyle \theta가 여섯 개의 각도를 균일한 확률로 갖는다고 했으므로 각각의 n\displaystyle n에 대하여 θ=nπ6\displaystyle \theta = \frac{{n \pi}}{6}일 확률은 16\displaystyle \frac{1}{6}이고, 제시문 [가]에 의하여 P(0≤Y≤12sin⁡θ)=sin⁡θ\displaystyle P \left( 0 \leq Y \leq \frac{1}{2} \sin \theta \right) = \sin \theta이다. 또한 θ\displaystyle \theta가 서로 다른 각도를 갖는 것은 배반 사건이고, θ\displaystyle \theta가 특정한 값을 갖는 것과 Y∈[0,12sin⁡θ]\displaystyle Y \in \left[ 0 , \frac{1}{2} \sin \theta \right]인 것은 독립이므로 (선분 중심의 위치는 θ\displaystyle \theta에 영향을 받지 않음) 확률의 덧셈정리와 곱셈정리에 의하여 P(B)=∑n=0516(sin⁡nπ6)=2+36\displaystyle P ( B ) = \sum_{n = 0}^{5} \frac{1}{6} \left( \sin \frac{{n \pi}}{6} \right) = \frac{{2 + \sqrt{3}}}{6}이다.

[논제 I-(3)]

선분의 중심에서 수평선까지의 거리 Y\displaystyle Y는 여전히 0≤Y≤1/2\displaystyle 0 \leq Y \leq 1 / 2이고, 선분 반쪽의 y\displaystyle y축에 대한 정사영의 길이가 Y\displaystyle Y보다 크면 선분은 수평선 y=0\displaystyle y = 0또는 y=1\displaystyle y = 1과 교차한다. 이번에는 선분 M\displaystyle M의 길이가 2이므로 0≤Y≤sin⁡θ\displaystyle 0 \leq Y \leq \sin \theta인 것이 주어진 θ\displaystyle \theta에 대하여 선분과 수평선이 교점을 가질 Y\displaystyle Y의 조건이다. 전체 θ\displaystyle \theta의 범위 [0,π)\displaystyle [ 0 , \pi )를 0=θ0<θ1<⋯<θn=π\displaystyle 0 = \theta_{0} < \theta_{1} < \cdots < \theta_{n} = \pi와 같이 n\displaystyle n등분하면, Δθ=π/n\displaystyle \Delta \theta = \pi / n에 대하여 θ\displaystyle \theta가 θ∈[θk,θk+1]\displaystyle \theta \in [ \theta_{k} , \theta_{k+1} ]일 확률은 Δθ/π\displaystyle \Delta \theta / \pi이다. 이 때 Y\displaystyle Y가 0≤Y≤sin⁡θk\displaystyle 0 \leq Y \leq \sin \theta_{k}이면 선분이 교점을 갖는 것이므로 그 확률은 lim⁡n→∞∑k=1nP(0≤Y≤sin⁡θk)Δθ/π=1π∫0πP(0≤Y≤sin⁡θ)dθ\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\sum_{k = 1}^{n}} P ( 0 \leq Y \leq \sin \theta_{k} ) \Delta \theta / \pi = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} {P ( 0 \leq Y \leq \sin \theta ) d \theta}이다. 여기서 θ\displaystyle \theta의 값에 따라 sin⁡θ≥1/2\displaystyle \sin \theta \geq 1 / 2일 수 있음에 유의하자. 0≤θ≤π/6\displaystyle 0 \leq \theta \leq \pi / 6또는 5π/6≤θ≤π\displaystyle 5 \pi / 6 \leq \theta \leq \pi에서는 P(0≤Y≤sin⁡θ)=2sin⁡θ\displaystyle P ( 0 \leq Y \leq \sin \theta ) = 2 \sin \theta이고, π/6≤θ≤5π/6\displaystyle \pi / 6 \leq \theta \leq 5 \pi / 6에서는P(0≤Y≤sin⁡θ)=1\displaystyle P ( 0 \leq Y \leq \sin \theta ) = 1이다. 따라서 확률은 1π(∫0π62sin⁡θdθ+∫π65π61dθ+∫5π6π2sin⁡θdθ)=23+2π(2−3)\displaystyle \frac{1}{\pi} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} {2 \sin \theta d \theta + \int_{\frac{\pi}{6}}^{5 \frac{\pi}{6}} {1 d \theta} + \int_{5 \frac{\pi}{6}}^{\pi} {2 \sin \theta d \theta}} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{\pi} ( 2 - \sqrt{3} )이다.Caution. 시그마로 나타낸 식에서는 합의 범위와 항의 첨자가 서로 맞는지 확인해야 한다: 구간을 [θk,θk+1]\displaystyle [\theta_k,\theta_{k+1}]로 쓰면 첨자는 k=0,…,n−1\displaystyle k=0,\ldots,n-1이다. 합을 k=1,…,n\displaystyle k=1,\ldots,n으로 쓰려면 구간을 [θk−1,θk]\displaystyle [\theta_{k-1},\theta_k]로 맞추면 된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[논제 I-(4)]

선분의 중심에서 수직선까지의 거리 X\displaystyle X는 0≤X≤1/2\displaystyle 0 \leq X \leq 1 / 2이고, 선분 반쪽의 x\displaystyle x축에 대한 정사영의 길이가 X\displaystyle X보다 크면 선분은 수직선 x=0\displaystyle x = 0또는 x=1\displaystyle x = 1과 교차한다. 즉 0≤X≤12∣cos⁡θ∣\displaystyle 0 \leq X \leq \frac{1}{2} | \cos \theta |인 것이 주어진θ\displaystyle \theta에 대하여 선분과 수직선이 교점을 가질 X\displaystyle X의 조건이다. 정사각형 G\displaystyle G의 네 변 중 적어도 한 변과 교차할 확률이므로 어느 변과도 교차하지 않는다는 것은 주어진 θ\displaystyle \theta에 대하여 동시에 X>12∣cos⁡θ∣\displaystyle X > \frac{1}{2} | \cos \theta |이고 Y>12sin⁡θ\displaystyle Y > \frac{1}{2} \sin \theta인 것이다. 즉, X\displaystyle X가 전체 범위 [0,12]\displaystyle \left[ 0 , \frac{1}{2} \right]중에서 [12∣cos⁡θ∣,12]\displaystyle \left[ \frac{1}{2} | \cos \theta | , \frac{1}{2} \right]에 속하고 Y\displaystyle Y는 전체 범위 [0,12]\displaystyle \left[ 0 , \frac{1}{2} \right]중에서 [12sin⁡θ,12]\displaystyle \left[ \frac{1}{2} \sin \theta , \frac{1}{2} \right]에 속하는 것이다. 따라서 이 확률은 1π∫0π(1−sin⁡θ)(1−∣cos⁡θ∣)dθ=1−3π\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} {( 1 - \sin \theta ) ( 1 - | \cos \theta | ) d \theta = 1 - \frac{3}{\pi}}이고, 논제에서 요구하는 확률은 3π\displaystyle \frac{3}{\pi}이다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.